Radici di un numero complesso
Salve, vorrei sapere se è possibile semplificare o no in questo caso trattandosi di numeri complessi.
$ z^6= (1-i)^3$ e quindi $ z= (i-1)^(3/6) $.
Dalla teoria ho appreso che nel campo dei numeri complessi si hanno sempre n radici distinte e complesse.
Ma se semplifico $ 3/6 $ in $ 1/2 $ alla fine me ne ritroverei solo due... quindi deduco che non si possa mai semplificare no?
Aiutatemi vi prego.
$ z^6= (1-i)^3$ e quindi $ z= (i-1)^(3/6) $.
Dalla teoria ho appreso che nel campo dei numeri complessi si hanno sempre n radici distinte e complesse.
Ma se semplifico $ 3/6 $ in $ 1/2 $ alla fine me ne ritroverei solo due... quindi deduco che non si possa mai semplificare no?
Aiutatemi vi prego.
Risposte
Ciao Davide9898,
Benvenuto sul forum!
In realtà potresti anche semplificare ed ottenere due soluzioni complesse, però poi ti devi ricordare di quel $ 3 $...
Per l'equazione proposta farei uso della forma esponenziale $z = \rho e^{i\theta} $ osservando che $ 1 - i = sqrt{2}e^{-frac{\pi}{4}} \implies (1 - i)^3 = sqrt{8} e^{-frac{3 \pi}{4}} $
Si ha:
$\rho^6 e^{i6\theta} = sqrt{8} e^{-frac{3 \pi}{4}} \implies \rho = root[4]{2} $ e $6\theta = - frac{3 \pi}{4} + 2k\pi \implies \theta = -\pi/8 + k \pi/3 $, $ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Benvenuto sul forum!
In realtà potresti anche semplificare ed ottenere due soluzioni complesse, però poi ti devi ricordare di quel $ 3 $...
Per l'equazione proposta farei uso della forma esponenziale $z = \rho e^{i\theta} $ osservando che $ 1 - i = sqrt{2}e^{-frac{\pi}{4}} \implies (1 - i)^3 = sqrt{8} e^{-frac{3 \pi}{4}} $
Si ha:
$\rho^6 e^{i6\theta} = sqrt{8} e^{-frac{3 \pi}{4}} \implies \rho = root[4]{2} $ e $6\theta = - frac{3 \pi}{4} + 2k\pi \implies \theta = -\pi/8 + k \pi/3 $, $ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $ (poi le soluzioni si ripetono).
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