Radici di polinomi
sto avendo difficoltà a risolvere questi polinomi, mi potreste aiutare?
$ z^6 $ -i $ z^3 $ +2
$ z^2 $ - $ |z|^2 $ =-Rez+ib
$ z^2 $ + $ bar(z)^2 $ - $ |z|^2 $ =0
grazie in anticipo
$ z^6 $ -i $ z^3 $ +2
$ z^2 $ - $ |z|^2 $ =-Rez+ib
$ z^2 $ + $ bar(z)^2 $ - $ |z|^2 $ =0
grazie in anticipo
Risposte
Nella prima ti consiglio la sostituzione $w=z^3$.
Nella seconda chi è $b$?
Nella terza
\[
z^2+\overline{z}^2-|z|^2=z^2+\overline{z}^2-z\overline{z}=z^2+\overline{z}^2-2z\overline{z}+z\overline{z}=(z+\overline{z})^2+z\overline{z},
\]
dunque l'equazione diventa $(z+\overline{z})^2=-|z|^2$ e ponendo $z=x+iy$ ottieni $x^2-3y^2=0$ (sono due rette).
Nella seconda chi è $b$?
Nella terza
\[
z^2+\overline{z}^2-|z|^2=z^2+\overline{z}^2-z\overline{z}=z^2+\overline{z}^2-2z\overline{z}+z\overline{z}=(z+\overline{z})^2+z\overline{z},
\]
dunque l'equazione diventa $(z+\overline{z})^2=-|z|^2$ e ponendo $z=x+iy$ ottieni $x^2-3y^2=0$ (sono due rette).
nella seconda non lo so proprio, ho visto una traccia del professore e l'esercizio riportava così...
nel primo esercizio, poi, quando sostiruisco w, iw come si comportano?
L'equazione $w^2-iw+2=0$ si risolve con la solita formula
\[
w_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{i\pm\sqrt{i^29}}{2}=\frac{i\pm 3i}{2}
\]
dunque le soluzioni sono $2i$ e $-i$. Poi risolvi $z=w_{1,2}$.
\[
w_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{i\pm\sqrt{i^29}}{2}=\frac{i\pm 3i}{2}
\]
dunque le soluzioni sono $2i$ e $-i$. Poi risolvi $z=w_{1,2}$.
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