Radici di eq trascendente
Ciao!
In un esercizio ho trovato questa domanda:
Mostrare che \(\displaystyle a^x = x^a \) ha 2 soluzioni con \(\displaystyle 1. Io sono riuscita a risolverlo solo graficamente, esiste anche un modo algebrico per risolverlo?
Grazie!
In un esercizio ho trovato questa domanda:
Mostrare che \(\displaystyle a^x = x^a \) ha 2 soluzioni con \(\displaystyle 1
Grazie!
Risposte
Scrivo di fretta la prima cosa che mi è venuta in mente, molto probabilmente c'è un metodo molto più semplice.
Immagino che si intenda $x>=0$ altrimenti il testo non avrebbe senso (eccetto per $a=2$, dove l'equazione ha 3 soluzioni, di cui una negativa e le altre due sono 2 e 4).
Possiamo escludere $x=0$ in quanto verifichiamo per sostituzione che essa non è una soluzione.
Per $x>0$ possiamo procedere così
$a^x=x^a => x\ln a = a\ln x => \ln a/ax=\ln x => x=e^{\alpha x}$ avendo posto $alpha=\ln a/a$
Poi $xe^{-\alpha x}=1=>-\alpha x e^{-\alpha x}=-\alpha$
Dato che $-1/e < -\alpha < 0$, avendo in mente la funzione di Lambert (oppure con un semplice studio della funzione $ye^y$), si conclude che le soluzioni sono due.
Immagino che si intenda $x>=0$ altrimenti il testo non avrebbe senso (eccetto per $a=2$, dove l'equazione ha 3 soluzioni, di cui una negativa e le altre due sono 2 e 4).
Possiamo escludere $x=0$ in quanto verifichiamo per sostituzione che essa non è una soluzione.
Per $x>0$ possiamo procedere così
$a^x=x^a => x\ln a = a\ln x => \ln a/ax=\ln x => x=e^{\alpha x}$ avendo posto $alpha=\ln a/a$
Poi $xe^{-\alpha x}=1=>-\alpha x e^{-\alpha x}=-\alpha$
Dato che $-1/e < -\alpha < 0$, avendo in mente la funzione di Lambert (oppure con un semplice studio della funzione $ye^y$), si conclude che le soluzioni sono due.
Giusto, grazie ad entrambi! 
Ora provo a fare lo studio di funzione...
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