Radici dei numeri complessi
Ciao. Mi sto preparando sui numeri complessi, ma ho difficoltà a svolgere alcuni esercizi, in particolare trovare le radici di certi numeri complessi.
Sul libro che sto seguendo ho trovato delle formule risolutive:
Per un numero complesso in forma esponenziale: $z= r*e^(iO)$ uso la formula
$ z_k = root(n)(r) * e^(i((O)/n + (2kr)/n)) $
dove O è teta
e invece nei numeri complessi in forma trigonometrica uso la formula $w_k= root(n)(r) ( cos((O+2kr)/(n)) + i sen((O+2kr)/(n)))$
il problema però è che devo trovare le radici di certi numeri, come $z^3 = ((2a^2+a)+ai(2a-1))/(2a-i)$
e sinceramente, non saprei proprio come iniziare a risolverlo. Pensavo di portarlo alla classica forma dei numeri complessi (a+ib) però mi risulta difficile, messo in tale forma...
Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche spunto/consiglio per affrontare questo tipo di problema?
grazie
Sul libro che sto seguendo ho trovato delle formule risolutive:
Per un numero complesso in forma esponenziale: $z= r*e^(iO)$ uso la formula
$ z_k = root(n)(r) * e^(i((O)/n + (2kr)/n)) $
dove O è teta
e invece nei numeri complessi in forma trigonometrica uso la formula $w_k= root(n)(r) ( cos((O+2kr)/(n)) + i sen((O+2kr)/(n)))$
il problema però è che devo trovare le radici di certi numeri, come $z^3 = ((2a^2+a)+ai(2a-1))/(2a-i)$
e sinceramente, non saprei proprio come iniziare a risolverlo. Pensavo di portarlo alla classica forma dei numeri complessi (a+ib) però mi risulta difficile, messo in tale forma...
Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche spunto/consiglio per affrontare questo tipo di problema?
grazie
Risposte
"Loverdrive":
il problema però è che devo trovare le radici di certi numeri, come $z^3 = ((2a^2+a)+ai(2a-1))/(2a-i)$
e sinceramente, non saprei proprio come iniziare a risolverlo. Pensavo di portarlo alla classica forma dei numeri complessi (a+ib) però mi risulta difficile, messo in tale forma...
Buongiorno
Prova a moltiplicare numeratore e denominatore per il numero complesso $2a+i$ e vedrai che in un paio di passaggi otterrai una forma molto semplice da lavorare.
ok, moltiplicando e facendo qualche calcolo, ho ottenuto $z= ((4a^3+a)+i(4a^3+a))/(4a^3))$ .... ora pensavo di raccogliere $4a^2$ in modo da semplificare col denominatore, ma poi otterrei $1/(4a)$ al secondo membro (sia di $a$ che di $b$) non è poi "scomodo"?
Inoltre, esiste una formula per ottenere le radici di un numero complesso in forma "classica" a+ib? Devo per forza trasformalo in forma eponenziale o trigonometrica?
grazie
Inoltre, esiste una formula per ottenere le radici di un numero complesso in forma "classica" a+ib? Devo per forza trasformalo in forma eponenziale o trigonometrica?
grazie
Riprova a fare i conti.
A me risulta $z^3 = a(1+i)$
A me risulta $z^3 = a(1+i)$
mmm provo a scrivere i passaggi, magari ho sbagliato qualcosa io. Io ho considerato $(2a^2+a) = a$ e $a(2a-1)=b$ (il ciò mi è sembrato un po' "strano" perchè compare la $a$, però così risulta nella forma $a+ib$ ).
quindi, facendo $((2a^2+a)+ai(2a-1))/(2a-i) * (2a+i)/(2a+i) = ((4a^3+2a^2-2a^2+a)+i(2a^2+a+4a^3-2a^2))/(4a^2-1)$ elimino i $2a^2$ sia in $a$ che in $b$
alla fine ottengo $((4a^3+a)+i(4a^3+a))/(4a^2-1)$ (prima avevo sbagliato il denominatore, però mi sembra che non cambi comunque molto..
quindi, facendo $((2a^2+a)+ai(2a-1))/(2a-i) * (2a+i)/(2a+i) = ((4a^3+2a^2-2a^2+a)+i(2a^2+a+4a^3-2a^2))/(4a^2-1)$ elimino i $2a^2$ sia in $a$ che in $b$
alla fine ottengo $((4a^3+a)+i(4a^3+a))/(4a^2-1)$ (prima avevo sbagliato il denominatore, però mi sembra che non cambi comunque molto..
"Loverdrive":
mmm provo a scrivere i passaggi, magari ho sbagliato qualcosa io. Io ho considerato $(2a^2+a) = a$ e $a(2a-1)=b$ (il ciò mi è sembrato un po' "strano" perchè compare la $a$, però così risulta nella forma $a+ib$ ).
quindi, facendo $((2a^2+a)+ai(2a-1))/(2a-i) * (2a+i)/(2a+i) = ((4a^3+2a^2-2a^2+a)+i(2a^2+a+4a^3-2a^2))/(4a^2-1)$ elimino i $2a^2$ sia in $a$ che in $b$
alla fine ottengo $((4a^3+a)+i(4a^3+a))/(4a^2-1)$ (prima avevo sbagliato il denominatore, però mi sembra che non cambi comunque molto..
Sbagli qui: $(2a-i)(2a+i)=4a^2-1$
cavolo, hai ragione!! $(2a-i)(2a+i) = 4a^2+1$ Ci va il +, non il - !!
Ora ci sono arrivato alla soluzione: $((4a^3+a)+1(4a^3+a))/(4a^2+1) = (a(4a^2+1)+ai(4a^2+1))/(4a^2+1) = ((4a^2+1)(a+ai))/(4a^2+1) = a+ai = a(1+i)$
Il problema è che commetto sempre degli errori "stupidi", per distrazione. Qua a casa riesco ad accorgermene, ma il problema è quando sarò la all'esame.. sarebbe comodo almeno sapere se quello che ho fatto è giusto oppure no :/
Ora ci sono arrivato alla soluzione: $((4a^3+a)+1(4a^3+a))/(4a^2+1) = (a(4a^2+1)+ai(4a^2+1))/(4a^2+1) = ((4a^2+1)(a+ai))/(4a^2+1) = a+ai = a(1+i)$
Il problema è che commetto sempre degli errori "stupidi", per distrazione. Qua a casa riesco ad accorgermene, ma il problema è quando sarò la all'esame.. sarebbe comodo almeno sapere se quello che ho fatto è giusto oppure no :/
"deserto":
Sbagli qui: $(2a-i)(2a+i)=4a^2-1$
mmm... ho riguardato un po' la teoria per impararla meglio, e mi sono accorto che riguardo al coniugato complesso, dice
$ z * bar(z) = z^2 $
Ora però sono andato un po' in tilt..
Se seguo la regola dei binomi, mi dovrebbe venire $(2a-i)^2 = 4a^2 - 4ai + i^2$
Però se faccio $(2a-i)*(2a-1)$ mi esce $(4a^2+i^2)*i$ .... simile a quello che avevo postato io, però c'è una $i$ di troppo...
Boh, mi sono complicato un po' troppo le idee... negli appunti mi ero segnato un esempio simile, in cui $(a+ib)*(a-ib) = a^2 + b^2$
Qualcuno riuscirebbe a illuminarmi?
grazie mille!
"Loverdrive":
mmm... ho riguardato un po' la teoria per impararla meglio, e mi sono accorto che riguardo al coniugato complesso, dice
$ z * bar(z) = z^2 $
NO! Fa attenzione $ z * bar(z) = |z|^2 $ ossia devi considerare il modulo del numero complesso ed elevarlo al quadrato.
hai ragione, avevo dimenticato il modulo!
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