Radici complesse di un equazione
ho alcuni dubbi su come affrontare questi esercizi allora l equazione in questione
$27z^3-1=0$ riscrivendola $z^3=1/27$
a questo punto me la riscrivo nella notazione trigonometrica sapendo che $cos(pi)+isen(pi)=-1$ quindi (ditemi se sbaglio qualcosa nella formalità)
$z^3=-(1/27)[cos(pi)+isen(pi)]$
adesso per trovare le radice complesse applico la formula de demoivre
$z1=-root(3)(1/27)[cos((pi+2pi0)/3)+isen((pi+2pi0)/3)]=-1/3(1/2+isqrt(3)/2)$
le altre due radici variano con $k=1,2$
questo procedimento lo visto su internet ed è quello che usa la mia prof. ma alcune volte nella formula di demoivre per applicarla devono essere noti il modulo e la fase che so facilmente calcolare ma quando si usa questo metodo con modulo e fase ?? scusatemi a forza di studiare e a fare esercizi sto facendo un po di confusione sopra grazie anticipatamente per i chiarimenti
$27z^3-1=0$ riscrivendola $z^3=1/27$
a questo punto me la riscrivo nella notazione trigonometrica sapendo che $cos(pi)+isen(pi)=-1$ quindi (ditemi se sbaglio qualcosa nella formalità)
$z^3=-(1/27)[cos(pi)+isen(pi)]$
adesso per trovare le radice complesse applico la formula de demoivre
$z1=-root(3)(1/27)[cos((pi+2pi0)/3)+isen((pi+2pi0)/3)]=-1/3(1/2+isqrt(3)/2)$
le altre due radici variano con $k=1,2$
questo procedimento lo visto su internet ed è quello che usa la mia prof. ma alcune volte nella formula di demoivre per applicarla devono essere noti il modulo e la fase che so facilmente calcolare ma quando si usa questo metodo con modulo e fase ?? scusatemi a forza di studiare e a fare esercizi sto facendo un po di confusione sopra grazie anticipatamente per i chiarimenti
Risposte
Io suggerisco di usare la notazione esponenziale, ovvero ponendo $z = \rho e^{i \theta}$:
\[ \rho^3 \cdot e^{ 3 i \theta} = \frac{1}{27} \cdot e^{2k \pi i}\]
da cui deve essere
\[ \rho^3 = \frac{1}{27} \Rightarrow \rho = \frac{1}{3} \]
e
\[ 3 \theta = 2 k \pi \Rightarrow \theta = \frac{2}{3} k \pi \]
con $k = 0, 1 , ...$ .
\[ \rho^3 \cdot e^{ 3 i \theta} = \frac{1}{27} \cdot e^{2k \pi i}\]
da cui deve essere
\[ \rho^3 = \frac{1}{27} \Rightarrow \rho = \frac{1}{3} \]
e
\[ 3 \theta = 2 k \pi \Rightarrow \theta = \frac{2}{3} k \pi \]
con $k = 0, 1 , ...$ .
alla fine è la stessa cosa.adesso rileggendo il libro e facendo un po di ricerche sto risolvendo la mia confusione quello che volevo dire sopra era che su alcuni esercizi espressi nella forma complessa cioe $z=x+iy$ per trovare le radice abbiamo bisogno di modulo e fase giusto ?? se è cosi mi dite qualche strada da fare per ricondurmi alla forma trigonometrica come ho fatto sopra nel esercizio ?? cioe se ho un esercizio $z^3=3-i4$ lo vorrei riscrivere in modo tale da utlizzare il procedimenti sopra sviluppato da me (sono un po arrugginito con i complessi, ma sto provvedendo ) 
Il modulo lo trovi subito perché basta calcolare $rho=sqrt(3^2+4^2)=5$, la fase è un po' più problematica perché non si tratta di un arco noto, sai che $cos theta =3/5$ e $sin theta = -4/5$ o se preferisci $tan theta= -4/3$, ricordando che l'angolo sta nel quarto quadrante, se puoi utilizzare archi negativi, lo scrivi $theta = arctan (-4/3) = - arctan (4/3)$.
In ogni caso devi controllare il quadrante e comportarti in modo da indicare l'angolo nel quadrante corretto.
Ad esempio $z= -3 +4i$ ha lo stesso modulo dell'esercizio precedente, e, sembrerebbe anche la stessa fase perché ottieni $tan theta= -4/3$, ma devi utilizzare un angolo del secondo quadrante in cui la tangente assuma quel valore, che non può essere un arcotangente, definito solo nel primo e quarto quadrante, perciò $theta = pi + arctan (-4/3) = pi - arctan (4/3)$.
Spero di essermi spiegata.
In ogni caso devi controllare il quadrante e comportarti in modo da indicare l'angolo nel quadrante corretto.
Ad esempio $z= -3 +4i$ ha lo stesso modulo dell'esercizio precedente, e, sembrerebbe anche la stessa fase perché ottieni $tan theta= -4/3$, ma devi utilizzare un angolo del secondo quadrante in cui la tangente assuma quel valore, che non può essere un arcotangente, definito solo nel primo e quarto quadrante, perciò $theta = pi + arctan (-4/3) = pi - arctan (4/3)$.
Spero di essermi spiegata.
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