Radici complesse del polinomio

[time4life]

Salve!

Vorrei chiedervi aiuto per la ricerca delle radici complesse di questo polinomio:

$z^4+(2-i)z^2+(1-i)=0$

Ho fatto ricerche su questo forum e altre su internet ,però ancora non sono sicuro di far bene..

Io ho cercato di risolvere in questo modo:

Pongo $t=z^2$

ne vien fuori : $t^2+(2-i)t+(1-i)=0$

ci calcolo il discriminante che mi viene $1$

da cui ottengo che: $t1=-3/2+i/2$ e $t2=-1/2+i/2$

e poi $s1=sqrt(-3/2+i/2)$ e $s2=sqrt(-1/2+i/2)$

Penso di sbagliare sicuramente, non so cosa però.. Wolfram mi dice che il polinomio ha radici complesse: $z=\pm i,z=\pm sqrt(-1+i)$

Inizio a pensare addirittura di sbagliare il discriminante

[anto_zoolander]

"Luigi94":...Inizio a pensare addirittura di sbagliare il discriminante

Infatti

Scherzi a parte, il discriminante dovrebbe essere $-1$

$Delta=(2-i)^2-4(1-i)=4-4i+i^2-4+4i$

Ora nota che ovviamente $i^2=-1$ dunque

$Delta=-1$

[time4life]

"anto_zoolander":[quote="Luigi94"]...Inizio a pensare addirittura di sbagliare il discriminante

Infatti

Scherzi a parte, il discriminante dovrebbe essere $-1$

$Delta=(2-i)^2-4(1-i)=4-4i+i^2-4+4i$

Ora nota che ovviamente $i^2=-1$ dunque

$Delta=-1$

[/quote]

Come un segno ti cambia tutto.... ahahah ora risulta giusto, grazie 1000

[time4life]

Scusate il doppio post, ne approfitto per chiedere per un altro esercizio:

$z^4+(a+3)z^2+a+2=0$


Le soluzioni complesse dovrebbero essere :$z=-i$ e $ z=i$, tuttavia non so arrivarci..

parto come per l'altro esercizio ponendo $t=z^2$

mi risulta $t^2+(a+3)t+a+2=0$

Calcolo il discriminante ed ottengo: $a^2+2a+1$

se dovessi poi calcolare le soluzioni di t otterrei $(-a-3\pm(sqrt(a^2+2a+1)))/2$
essendo poi t=z^2 ottengo che z=$sqrt((-a-3\pm(sqrt(a^2+2a+1)))/2$

ho provato a semplificare un po ma vengono cose strane,tipo : $-i+(2a)^(1/4)/sqrt2$

[ciampax]

Ti vorrei far notare che $a^2+2a+1=(a+1)^2$....

[time4life]

"ciampax":Ti vorrei far notare che $a^2+2a+1=(a+1)^2$....

non me ne sono proprio accorto..., vabè per lo meno ho fatto nel modo giusto, ti ringrazio


Avrei un ultimissimo quesito, come è meglio procedere nel caso di complessi coniugati?
ad esempio in un equazione come questa: $z^5=z^*$

Immagino che ci siano da trovare n radici , però non so come procedere, in alcuni esercizi vedo che si passa in forma esponenziale, in altri si considera il modulo, sono un po confuso

[@melia]

In questo caso mi sembra opportuno passare alla forma esponenziale

[time4life]

"@melia":In questo caso mi sembra opportuno passare alla forma esponenziale

purtroppo non riesco ad arrivare a soluzione... ho provato in questo modo:

$ z^5=z^*$ portati in forma esponenziale ho : $r^5e^(5i\Theta)=re^(-i\Theta)$

Ora moltiplico entrambi i membri per $e^(i\Theta)$

inoltre porto il secondo membro a sinistra e metto in comune r ottenendo: $r(r^4e^(6i\Theta)-1)=0$

Ora però brancolo nel vuoto, da qui ottengo una prima soluzione che è z=0 , le altre non saprei proprio

Vedendo qualche esercizio svolto , dovrei confrontare modulo e argomento di $r^4e^(6i\Theta)$ con modulo e argomento di $1$ e ci ho già provato ma fallendo nel risultato dato che l'argomento di $1$ è $0$ , qualcuno ha qualche suggerimento

[@melia]

"Luigi94":...dovrei confrontare modulo e argomento di $r^4e^(6i\Theta)$ con modulo e argomento di $1$ e ci ho già provato ma fallendo nel risultato dato che l'argomento di $1$ è $0$ , qualcuno ha qualche suggerimento

D'acordo il modulo è 0, ma ha periodo $2pi$
$6\theta= 0+2k pi$ con $k in ZZ$
quindi $theta = (0+2k pi)/6$ con $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$ per valori di $k$ maggiori di 5 si riottengono gli stessi vatori di $theta$ nel giro successivo.

[time4life]

"@melia":
D'acordo il modulo è 0, ma ha periodo $2pi$
$6\theta= 0+2k pi$ con $k in ZZ$
quindi $theta = (0+2k pi)/6$ con $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$ per valori di $k$ maggiori di 5 si riottengono gli stessi vatori di $theta$ nel giro successivo.

Ahhh capisco! quindi in definitiva applico la formula per trovarmi le radici e risolvo! in particolare per $\Theta =0$ e per $\Theta =\Pi$ ho le altre due soluzioni reali, quelle che rimangono sono le soluzioni complesse giusto?