Radici complesse

[minini1]

ciao a tutti volevo chiarirmi le idee circa una nota che ci fece la professoressa di analisi matematica 2
quando stavamo studiando le equazioni differenziali nel caso in cui si abbia un'equazione di secondo grado omogenea e le radici dell'equazione caratteristica sono complesse e quindi l'integrale generale risulta essere del tipo :
$y=e^(\alpha)*(cos(\theta)+i*sen(\theta))$
Ci disse che considerando una circonferenza di raggio unitario si ha che :
1 : $e^(i*\theta)=\varphi(cos(\theta)+i*sen(\theta))$
e posto che 2 : $y=c_(1)*e^((\lambda)_(1)*x)+c_(2)*e^((\lambda)_(2)*x)$
poi pone anche che $(\lambda)_(1)=(\alpha)-i*(\beta)$ e $(\lambda)_(2)=(\alpha)+i*(\beta)$
a questo punto va a sostituire i valori di $(\lambda)$ nella ---> 2
giunge ad avere che $e^((\alpha)*x)*cos((\beta)*x)=(e^((\lambda)_(1)*(x))+e^((\lambda)_(2)*(x)))/2$ e $e^((\alpha)*x)*sen((\beta)*x)=(e^((\lambda)_(1)*(x))+e^((\lambda)_(2)*(x)))/(2*i)$
ecco in questa dimostrazione non ho capito bene il senso..spero possiate commentarmela cosicche io possa capirla meglio.sopprattutto mi sfugge il significato della circonferenza di raggio uno che pone nelle ipotesi..
Grazie a tutti!

[Sk_Anonymous]

L'integrale generale complesso dipende da due costanti arbitrarie complesse $[c_1]$ e $[c_2]$. Si tratta di sceglierle in modo tale che l'integrale generale reale dipenda da due costanti arbitrarie reali $[A]$ e $$:

$\{(lambda_1=alpha-ibeta),(lambda_2=alpha+ibeta):} rarr [y=c_1e^(lambda_1x)+c_2e^(lambda_2x)] rarr [y=e^(alphax)(c_1e^(-ibetax)+c_2e^(ibetax))]$

$[c_2=bar(c_1)] rarr$

$rarr [y=e^(alphax)(c_1e^(-ibetax)+bar(c_1)e^(ibetax))] rarr$

$rarr [y=e^(alphax)[(c_(1r)+ic_(1i))(cosbetax-isenbetax)+(c_(1r)-ic_(1i))(cosbetax+isenbetax)]] rarr$

$rarr [y=e^(alphax)(c_(1r)cosbetax-ic_(1r)senbetax+ic_(1i)cosbetax+c_(1i)senbetax+c_(1r)cosbetax+ic_(1r)senbetax-ic_(1i)cosbetax+c_(1i)senbetax)] rarr$

$rarr [y=e^(alphax)(2c_(1r)cosbetax+2c_(1i)senbetax)]$

$\{(2c_(1r)=A),(2c_(1i)=B):} rarr [y=e^(alphax)(Acosbetax+Bsenbetax)]$

Insomma, il succo è questo. Non ho seguito il tuo procedimento perchè hai fatto troppa confusione.