Radici complesse

[gionny98]

$ root(3)((1-isqrt(3) )^20) $

Qualcuno può aiutarmi con questa radice, non riesco a capire come risolverla. Avevo pensato di fare in questo modo:
$ (1-isqrt(3))^6root(3)((1-isqrt(3))^2) $
e poi risolvere quello sotto radice con le forme solite. Dopo però come potrei risolvere quello portato fuori radice?
Il metodo che ho utilizzato è giusto?

[pilloeffe]

Ciao gionni98,

Passerei alle coordinate polari osservando che $1 - i sqrt{3} = 2e^{-i frac{pi}{3}} $

[gionny98]

"pilloeffe":Ciao gionni98,

Passerei alle coordinate polari osservando che $1 - i sqrt{3} = 2e^{-i frac{pi}{3}} $

Poi come dovrei continuare, non riesco a capire

[pilloeffe]

"gionni98":Poi come dovrei continuare, non riesco a capire

Credo che tu debba tornare per bene sull'argomento equazioni complesse...

Posto $w := (1 - i sqrt{3})^20 = (2 e^{- i frac{pi}{3}})^20 = 2^20 e^{- i frac{20 pi}{3}} $, in pratica devi risolvere l'equazione seguente:

$z^3 = w $

Dato che $z = \rho e^{i \theta} \implies z^3 = \rho^3 e^{i 3\theta} $ si ha $ \rho^3 e^{i 3\theta} = 2^20 e^{- i frac{20 pi}{3}} $ da cui...

[gionny98]

"pilloeffe":[quote="gionni98"]Poi come dovrei continuare, non riesco a capire

Credo che tu debba tornare per bene sull'argomento equazioni complesse...

Posto $w := (1 - i sqrt{3})^20 = (2 e^{- i frac{pi}{3}})^20 = 2^20 e^{- i frac{20 pi}{3}} $, in pratica devi risolvere l'equazione seguente:

$z^3 = w $

Dato che $z = \rho e^{i \theta} \implies z^3 = \rho^3 e^{i 3\theta} $ si ha $ \rho^3 e^{i 3\theta} = 2^20 e^{- i frac{20 pi}{3}} $ da cui...[/quote]

Ah ecco questo non riuscivo a capire, cioè sei prima passato nella forma esponenziale senza calcolare niente, poi elevi alla ventesima e poi calcoli la radice.
quindi i risultati sono:
$ w_0=root(3)(2)e^(-i*pi /9) $
$ w_1=root(3)(2)e^(i*5/9pi) $
$ w_1=root(3)(2)e^(i*11/9pi) $
Giusto?

[pilloeffe]

"gionni98":Giusto?

No, non ci sei...
Andando avanti dall'ultima equazione che ti ho scritto e considerando che $- frac{20 pi}{3} = frac{4 pi}{3} $ si ha:

$\rho^3 e^{i 3\theta} = 2^20 e^{i frac{4 pi}{3}} $

da cui $\rho^3 = 2^20 \implies \rho = (root[3]{2})^20 $ e $3\theta = frac{4 pi}{3} + 2k\pi \implies \theta = frac{4 pi}{9} + frac{2k pi}{3} $, $k = 0, 1, 2 $ (poi le soluzioni si ripetono). Per cui in definitiva si ha:

$z_0 = (root[3]{2})^20 e^{i frac{4 pi}{9}} $ per $k = 0 $;

$z_1 = (root[3]{2})^20 e^{i frac{10 pi}{9}} $ per $k = 1 $;

$z_2 = (root[3]{2})^20 e^{i frac{16 pi}{9}} $ per $k = 2 $