Radici
Ciao a tutti.
Dovo risolvere questo esercizio.
$ (3 + 4i)^1/3 $
ora per $ k = 0 $ trovo che
$ w_0 = (5^1/5) * [cos(arctg(4/3))/3 + i sen (arctg(4/3))/3 ] $
quindi
$ cos(arctg(4/3)) = + e - 3/5 $
Poi ho pesato di usare la formula di binezione del coseno ma c'è un $ 3 $ al denominatore. Come so va avanti?
Grazie a tutti e buon anno ciao
Dovo risolvere questo esercizio.
$ (3 + 4i)^1/3 $
ora per $ k = 0 $ trovo che
$ w_0 = (5^1/5) * [cos(arctg(4/3))/3 + i sen (arctg(4/3))/3 ] $
quindi
$ cos(arctg(4/3)) = + e - 3/5 $
Poi ho pesato di usare la formula di binezione del coseno ma c'è un $ 3 $ al denominatore. Come so va avanti?
Grazie a tutti e buon anno ciao
Risposte
Sinceramente il testo non è molto chiaro. Volevi scrivere $(3 + 4i)^(1/3)$ o cosa....
si esatto.
Ma non si può semplicemente dire che le radici complesse di $(3+4i)^{1/3}$ sono
$z_{k\in{0,1,2}}=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)+2k\pi}/3)+isin({arctg(4/3)+2k\pi}/3))$
$z_{k\in{0,1,2}}=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)+2k\pi}/3)+isin({arctg(4/3)+2k\pi}/3))$
Cioè come! non ho capito. Ma si puo applicare la formula di bisezione o no? secondo me no perchè compare un 3 al denominatore
"cavallipurosangue":
Ma non si può semplicemente dire che le radici complesse di $(3+4i)^{1/3}$ sono
$z_{k\in{0,1,2}}=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)+2k\pi}/3)+isin({arctg(4/3)+2k\pi}/3))$
Concordo! Non capisco perchè utilizzare le formule di bisezione.
Nota: Formule di bisezione: sono quelle formule che permettono di determinare i valori di $sen (alfa/2)$, $cos (alfa/2)$, $tg (alfa/2)$, $ctg (alfa/2)$, noti i valori delle funzioni goniometriche dell'angolo $alfa$.
Direi di no, ma puoi provare con De Moivre a ricavarti la formula che fa al tuo caso, se vuoi provare a semplificare la scrittura..
No scusate, De Moivre può esser utilizzato solo per esponenti naturali.
Si infatti! Questo procedimento come lo vedi?
$z_{k\in{0,1,2}}=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)+2k\pi}/3)+isin({arctg(4/3)+2k\pi}/3))$
Considero $z=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)}/3)+isin({arctg(4/3)}/3))$ per semplificare le cose!
Allora:
$arctg(x)=pi/2-arctg(1/x) rarr 5^(1/3)*(cos(- (arctg(3/4))/3 + pi/6) + i*sin((arctg(4/3))/3))$
$arctg(x)=2*arctg((sqrt(x^2+1)-1)/x) rarr 5^(1/3)*(cos(- 2*(arctg(1/3))/3 + pi/6) + i*sin((arctg(4/3))/3))$
$arctg(x)=pi/2-arctg(1/x) rarr 5^(1/3)*(cos(2*(arctg(1/2))/3) + i*sin(- (arctg(3/4))/3 + pi/6))$
$arctg(x)=pi/4-arctg((1-x)/(x+1)) rarr 5^(1/3)*(cos(- 2(arctg(1/3))/3 + pi/6) + i*sin(- (arctg(3/4))/3 + pi/6))$
$arctg(x)=2*arctg((sqrt(x^2+1)-1)/x) rarr 5^(1/3)*(cos(2*(arctg(1/2))/3) + i*sin(- 2(arctg(1/3))/3 + pi/6))$
$arctg(x)=pi/4-arctg((1-x)/(x+1)) rarr 5^(1/3)*(cos(- 2*(arctg(1/3))/3 + pi/6) + i*sin(- 2*(arctg(1/3))/3 + pi/6))$
Per la formula di Eulero si ha: $5^(1/3)*e^(2*i*(arctg(1/2))/3)$
$z_{k\in{0,1,2}}=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)+2k\pi}/3)+isin({arctg(4/3)+2k\pi}/3))$
Considero $z=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)}/3)+isin({arctg(4/3)}/3))$ per semplificare le cose!
Allora:
$arctg(x)=pi/2-arctg(1/x) rarr 5^(1/3)*(cos(- (arctg(3/4))/3 + pi/6) + i*sin((arctg(4/3))/3))$
$arctg(x)=2*arctg((sqrt(x^2+1)-1)/x) rarr 5^(1/3)*(cos(- 2*(arctg(1/3))/3 + pi/6) + i*sin((arctg(4/3))/3))$
$arctg(x)=pi/2-arctg(1/x) rarr 5^(1/3)*(cos(2*(arctg(1/2))/3) + i*sin(- (arctg(3/4))/3 + pi/6))$
$arctg(x)=pi/4-arctg((1-x)/(x+1)) rarr 5^(1/3)*(cos(- 2(arctg(1/3))/3 + pi/6) + i*sin(- (arctg(3/4))/3 + pi/6))$
$arctg(x)=2*arctg((sqrt(x^2+1)-1)/x) rarr 5^(1/3)*(cos(2*(arctg(1/2))/3) + i*sin(- 2(arctg(1/3))/3 + pi/6))$
$arctg(x)=pi/4-arctg((1-x)/(x+1)) rarr 5^(1/3)*(cos(- 2*(arctg(1/3))/3 + pi/6) + i*sin(- 2*(arctg(1/3))/3 + pi/6))$
Per la formula di Eulero si ha: $5^(1/3)*e^(2*i*(arctg(1/2))/3)$
non ho capito come vi siete ricavati le radici. Con la formila di De Movrè? ok ma come avetre risolto il problema del $3$ al denominatore?
Io l'ho risolto in quel modo! Non si può utilizzare la formula di De Moivre, in quanto è applicabile soltanto con esponenti naturali.
Giusto! Grazie per l'osservazione. Ora ci do un'oochiata, cmq. cosa significa "rarr" nel tuo procedimanto?
rarr indica una freccia. Comunque ti consiglio di leggere qui: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 89&start=0
Ti ringrazio Leonardo per il post precedente solo che non l'ho ben capito.
in pratica si deve calcolare
$z=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)}/3)+isin({arctg(4/3)}/3))$
Mettiamoci nel caso $K=0$
io mi sono calcolato
$ cos(arctg(4/3)) = + e - 3/5 $
Pero ora non riesco ad andare avanti perchè trovo un $3$ al denominatore.
Invece tu come hai fatto? Non ho capito cosa centra:
1) $arctg(x)=pi/2-arctg(1/x)$
2) da dove esce il meno e perchè si inverte l'argomente dell'arcotangente:
$5^(1/3)*(cos(-???? (arctg(3/4???))/3 + pi/6) + i*sin((arctg(4/3))/3))$
in pratica si deve calcolare
$z=5^{1/3}(cos({arctg(4/3)}/3)+isin({arctg(4/3)}/3))$
Mettiamoci nel caso $K=0$
io mi sono calcolato
$ cos(arctg(4/3)) = + e - 3/5 $
Pero ora non riesco ad andare avanti perchè trovo un $3$ al denominatore.
Invece tu come hai fatto? Non ho capito cosa centra:
1) $arctg(x)=pi/2-arctg(1/x)$
2) da dove esce il meno e perchè si inverte l'argomente dell'arcotangente:
$5^(1/3)*(cos(-???? (arctg(3/4???))/3 + pi/6) + i*sin((arctg(4/3))/3))$
Questa è la formula generale, ricavata tramite il mio procedimento: $5^(1/3)*e^(i*(2(arctg(1/2))/3 + 2*pi*k/3))$
ok provo a vedere i tuoi conti....
secondo te, non per essere presuntuoso, perchè il mio procedimento non porta a nulla? dov'è l'errore?
secondo te, non per essere presuntuoso, perchè il mio procedimento non porta a nulla? dov'è l'errore?
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