Radice di un complesso

[zio_mangrovia]

Salve ho difficoltà a calcolare le radici di questa equazione nei complessi,
$X^4+1 = 0$

direi che $X=root(4)(-1)$

e mi verrebbe da dire $X=root(4)(i^2)$

ma non vado oltre

[axpgn]

Come si calcolano potenze e radici nei complessi?
De Moivre non ti dice niente?

[Gi81]

Altro suggerimento:

Prova a vedere se esistono $a,b in RR$ tali che
\[
x^4 + 1 = (x^2+ax+1)(x^2+bx+1)
\]

$a= sqrt2$
$b= - sqrt2$

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

Se proprio non ti piace De Moivre, un'altra strada è scrivere l'equazione in modo diverso:

$ x^4 + 1 = 0 $

$(x^2 - i)(x^2 + i) = 0 $

Per il principio di annullamento del prodotto si ha:

$ x^2 - i = 0 \implies x^2 = i \implies x_{1,2} = \pm sqrt{i} = \pm sqrt{(1 + 2i + i^2)/2} = \pm sqrt{(1 + i)^2/2} = \pm (1 + i)/sqrt2 $

$ x^2 + i = 0 \implies x^2 = - i \implies x_{3,4} = \pm sqrt{- i} = \pm sqrt{(1 - 2i + i^2)/2} = \pm sqrt{(1 - i)^2/2} = \pm (1 - i)/sqrt2 $

[zio_mangrovia]

non ci sarei mai arrivato

[axpgn]

Ma non è necessario fare quello che ti hanno suggerito pilloeffe e Gi8, basta applicare le formule di De Moivre.
Non è complicato.