Radice di numero complesso ( $sqrt(3+4\ast) = 2+i$)
Ciao. Mi trovo in difficoltà con lo svolgimento di questo radicale: mi potete dare una mano?
Ecco come ho provato a svolgerlo:ma mi sono bloccata subito.
modulo: $ sqrt(3^2 + 4^2) = 5$
argomento:
$ cos (alpha) = 3/5 ... alpha = $circa$ 53°$ circa $3(pi)/10$
$ sen(alpha) = 4/5 ... alpha = $circa$ 53°$ circa $3(pi)/10 $
dato che non saprei che numero di radianti esatti mettere per ora lascio $3(pi)/10$
numero in forma trigonometrica: $ 5(cos 3(pi)/10 +2(pi)/2 + i*sen 3(pi)/10+2(pi)/2)$
radice (formula moivre) : $sqrt(5)(cos 3(pi)/10*2 +k(pi)/2 + i* sen 3(pi)/10*2+k(pi)/2)$
PER K=0
$sqrt(5)(3/10 +i* 4/10)$
$sqrt(5)*3/10 = 0,45$
$sqrt(5)*4/10 = 0,8$
ora non so come proseguire con K=1 ... dato che non ho l'esatto numero di radianti da sommare a $k(pi)/2$.E anche ciò che ho svolto finora non mi convince a proseguire o considerarlo in qualche modo.
Mi potete indirizzare sulla retta via?
Grazie
Ecco come ho provato a svolgerlo:ma mi sono bloccata subito.
modulo: $ sqrt(3^2 + 4^2) = 5$
argomento:
$ cos (alpha) = 3/5 ... alpha = $circa$ 53°$ circa $3(pi)/10$
$ sen(alpha) = 4/5 ... alpha = $circa$ 53°$ circa $3(pi)/10 $
dato che non saprei che numero di radianti esatti mettere per ora lascio $3(pi)/10$
numero in forma trigonometrica: $ 5(cos 3(pi)/10 +2(pi)/2 + i*sen 3(pi)/10+2(pi)/2)$
radice (formula moivre) : $sqrt(5)(cos 3(pi)/10*2 +k(pi)/2 + i* sen 3(pi)/10*2+k(pi)/2)$
PER K=0
$sqrt(5)(3/10 +i* 4/10)$
$sqrt(5)*3/10 = 0,45$
$sqrt(5)*4/10 = 0,8$
ora non so come proseguire con K=1 ... dato che non ho l'esatto numero di radianti da sommare a $k(pi)/2$.E anche ciò che ho svolto finora non mi convince a proseguire o considerarlo in qualche modo.
Mi potete indirizzare sulla retta via?
Grazie
Risposte
Non ho capito… Devi mostrare che $2+i$ è una radice quadrata di $3+4i$?
O devi calcolare le radici quadrate di $3+4i$ ed hai come risultato $2+i$?
P.S.: Che cos’è quell’asterisco nella formula?
Sistema il titolo, grazie.
O devi calcolare le radici quadrate di $3+4i$ ed hai come risultato $2+i$?
P.S.: Che cos’è quell’asterisco nella formula?
Sistema il titolo, grazie.
Ciao rosa munda,
Se ho capito bene e devi calcolare $\sqrt{3 + 4i} $ è molto semplice perché si ha:
$ \sqrt{3 + 4i} = \sqrt{4 + 4i - 1} = \sqrt{(2 + i)^2} = 2 + i $
Naturalmente stiamo parlando della radice principale; se vuoi anche l'altra basta un segno meno davanti sicché $z_2 = - 2 - i $ (o in alternativa aggiungere $ \pi $ alla "versione" trigonometrica o esponenziale della radice principale).
Se ho capito bene e devi calcolare $\sqrt{3 + 4i} $ è molto semplice perché si ha:
$ \sqrt{3 + 4i} = \sqrt{4 + 4i - 1} = \sqrt{(2 + i)^2} = 2 + i $
Naturalmente stiamo parlando della radice principale; se vuoi anche l'altra basta un segno meno davanti sicché $z_2 = - 2 - i $ (o in alternativa aggiungere $ \pi $ alla "versione" trigonometrica o esponenziale della radice principale).
"gugo82":
cos’è quell’asterisco
$sqrt(3+4i)^("*")$
Mi pare che sui libri delle superiori usino l'asterisco per distinguere la radice complessa da quella algebrica (che finisce con un tratto verso il basso) e da quella aritmetica (che ha ancora un'altro piedino che non mi ricordo più).
@SirDaniel: [ot]Ma che, davvero?
Che ca***ta di notazione.
[/ot]
Che ca***ta di notazione.
[/ot]
Rispondo a pilloeffe
Grazie mille ... "guardavo il dito anziché la luna" ... traduco per chi non conosce il detto che ciata"quando il saggio indica la luna lo sciocco guarda il dito"
Vorrei aggiungere a pilloeffe: la strada che ho fatto io è assai complicata ma non dovrebbe portarmi comunque al risultato? ( mi sono accorta dopo di un errore ma pur con la correzione non raggiungo il risultato)... grazie ancora
Grazie mille ... "guardavo il dito anziché la luna" ... traduco per chi non conosce il detto che ciata"quando il saggio indica la luna lo sciocco guarda il dito"
Vorrei aggiungere a pilloeffe: la strada che ho fatto io è assai complicata ma non dovrebbe portarmi comunque al risultato? ( mi sono accorta dopo di un errore ma pur con la correzione non raggiungo il risultato)... grazie ancora
"rosa munda":
Grazie mille ...
Prego!
"rosa munda":
la strada che ho fatto io è assai complicata ma non dovrebbe portarmi comunque al risultato?
Certamente. Dovresti ottenere
$ z_1 = \sqrt{5} e^{1/2 i arctan(4/3)} = 2 + i $
(radice principale) e
$ z_2 = \sqrt{5} e^{1/2 i [2\pi + arctan(4/3)]} = - 2 - i $
Ho dato la risposta rapida per errore e non so che fine ha fatto ... spero che pilloeffe la possa vedere ... ringraziavo e chiedevo se fosse possibile avere i passaggi perché la mia scarsa competenza non mi consente di arrivarci da sola e se ne avesse tempo e voglia mi darebbe la possibilità di arricchire le mie conoscenze ... grazie in ogni caso è buona notte
A parte il titolo del post, che ti avevo chiesto di correggere, ma è ancora lì come se nulla fosse, non si capisce come usi la formula delle radici.
In generale, se hai un numero $z$ con modulo $r$ ed argomento principale $theta$, le radici quadrate di $z$ sono i due numeri:
\[
w_k = \sqrt{r} \ \left( \cos \frac{\theta + 2k \pi}{2} + i\ \sin \frac{\theta + 2k \pi}{2} \right)\qquad \text{, con } k=0,1
\]
ossia:
\[
\begin{split}
w_0 &= \sqrt{r} \ \left( \cos \frac{\theta}{2} + i\ \sin \frac{\theta}{2} \right) \\
w_1 &= \sqrt{r} \ \left( \cos \frac{\theta + 2 \pi}{2} + i\ \sin \frac{\theta + 2 \pi}{2} \right)
\end{split}
\]
i quali, per note proprietà della radice, sono uno l’opposto dell’altro; quindi basta calcolare $w_0$ poiché $w_1 =-w_0$.
Il numero $z=3+4i$ ha modulo $r=5$ ed argomento principale $theta$ che soddisfa il sistema ${(cos theta = 3/5) , (sin theta = 4/5):}$ e di più non ci interessa.
Conseguentemente, $w_0$ ha modulo $sqrt(5)$ ed argomento $theta/2$, cioè:
\[
w_0 = \sqrt{5} \ \left( \cos \frac{\theta}{2} + i\ \sin \frac{\theta}{2} \right)\; ,
\]
e dobbiamo calcolare $cos (theta/2)$ e $sin (theta/2)$. Questo è un esercizio standard di trigonometria: visto che $z$ è nel primo quadrante, è $00$; per formula di bisezione, relazione fondamentale e per valori di $cos theta$ e $sin theta$ determinati sopra abbiamo:
\[
\begin{split}
\cos \frac{\theta}{2} &= \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\sin \frac{\theta}{2} &= \sqrt{1 - \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{split}
\]
dunque:
\[
w_0 = \sqrt{5} \ \left( \frac{2}{\sqrt{5}} + i\ \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = 2 + i\; .
\]
In generale, se hai un numero $z$ con modulo $r$ ed argomento principale $theta$, le radici quadrate di $z$ sono i due numeri:
\[
w_k = \sqrt{r} \ \left( \cos \frac{\theta + 2k \pi}{2} + i\ \sin \frac{\theta + 2k \pi}{2} \right)\qquad \text{, con } k=0,1
\]
ossia:
\[
\begin{split}
w_0 &= \sqrt{r} \ \left( \cos \frac{\theta}{2} + i\ \sin \frac{\theta}{2} \right) \\
w_1 &= \sqrt{r} \ \left( \cos \frac{\theta + 2 \pi}{2} + i\ \sin \frac{\theta + 2 \pi}{2} \right)
\end{split}
\]
i quali, per note proprietà della radice, sono uno l’opposto dell’altro; quindi basta calcolare $w_0$ poiché $w_1 =-w_0$.
Il numero $z=3+4i$ ha modulo $r=5$ ed argomento principale $theta$ che soddisfa il sistema ${(cos theta = 3/5) , (sin theta = 4/5):}$ e di più non ci interessa.
Conseguentemente, $w_0$ ha modulo $sqrt(5)$ ed argomento $theta/2$, cioè:
\[
w_0 = \sqrt{5} \ \left( \cos \frac{\theta}{2} + i\ \sin \frac{\theta}{2} \right)\; ,
\]
e dobbiamo calcolare $cos (theta/2)$ e $sin (theta/2)$. Questo è un esercizio standard di trigonometria: visto che $z$ è nel primo quadrante, è $0
\[
\begin{split}
\cos \frac{\theta}{2} &= \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\sin \frac{\theta}{2} &= \sqrt{1 - \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{split}
\]
dunque:
\[
w_0 = \sqrt{5} \ \left( \frac{2}{\sqrt{5}} + i\ \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = 2 + i\; .
\]
@rosa munda:
perché il bump? Mi pare che gugo82 ti abbia già risposto dettagliatamente...
E ancora non hai sistemato il titolo che correggo ogni volta che ti rispondo.
@gugo82:
Mero errore di battitura: nella tastiera il tasto 2 è giusto appena sopra il tasto w...
perché il bump? Mi pare che gugo82 ti abbia già risposto dettagliatamente...
E ancora non hai sistemato il titolo che correggo ogni volta che ti rispondo.
@gugo82:
"gugo82":
[...] poiché $w_1=−2_0 $
Mero errore di battitura: nella tastiera il tasto 2 è giusto appena sopra il tasto w...
GRazio a Gugo per la splendida ed ELEGANTE soluzione dettagliata e grazie a pilloeffe per questa risposta.
Spiego che il mio bump è stato un errore, cercavo il modo di correggere il titolo ma ahimè non l'ho ancora capito ... mi scuso anche per il ritardo (problemi con il PC e poi ho trovato il vostro sito in manutenzione) ... ora vedo se trovo il comando che mi consente la modifica al post. Sinceri saluti.
Spiego che il mio bump è stato un errore, cercavo il modo di correggere il titolo ma ahimè non l'ho ancora capito ... mi scuso anche per il ritardo (problemi con il PC e poi ho trovato il vostro sito in manutenzione) ... ora vedo se trovo il comando che mi consente la modifica al post. Sinceri saluti.
Corretto titolo?
No, riprova e sarai più fortunata...
spero sia considerato corretto il titolo ... purtroppo non riesco a trovare qualcosa che mi faccia scrivere con "apice" o "pedice" perciò l'asterisco lo devo lasciare lì ... me lo potete insegnare eventualmente? 
Io ho fatto così:
sqrt(3+4i)^("*")
(Square root)
È messo tra i simboli del dollaro
Ottengo:
$sqrt(3+4i)^("*")$
[ot]Non è proprio il massimo così, penso esista un modo migliore[/ot]
sqrt(3+4i)^("*")
(Square root)
È messo tra i simboli del dollaro
Ottengo:
$sqrt(3+4i)^("*")$
[ot]Non è proprio il massimo così, penso esista un modo migliore[/ot]
GRAZIE!...ma per il pedice come fatuo per x1 e X2 come ve la cavare?
x_1 ----> $x_1$
X_2 -----> $X_2$
Infine, all'uopo, c'è un apposito collegamento ad una lista di esempi che trovi riproposto su ogni pagina.
Formule
X_2 -----> $X_2$
Infine, all'uopo, c'è un apposito collegamento ad una lista di esempi che trovi riproposto su ogni pagina.
Formule
GRAZIE ... buone cose a tutti voi
Altrettanto a te!
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