Radice derivata seconda per funzioni limitate $\in \mathcal{C}^{(2)}$
Mi trovo di fronte ad un bel problemino che sto cercando di capire come risolvere.
\(\displaystyle f \in \mathcal{C}^{(2)} (-1,1) \) ed inoltre \(\displaystyle \sup_{x\in (-1,1)}|f(x)|\leq 1 \), allora \(\displaystyle \exists \alpha \) tale che \(\displaystyle |f'(0)|>\alpha \Rightarrow f''(x) \) ha almeno una radice in \(\displaystyle (-1,1) \).
Idea grezza: esagerando con la pendenza locale in \(\displaystyle x=0 \) c'è necessariamente bisogno di ridurla con un cambio di segno della derivata seconda, per non sforare il tetto imposto dal \(\displaystyle \sup \) in \(\displaystyle (-1,1) \). Siccome poi \(\displaystyle f'' \) è continua, tale cambio di segno deve essere graduale, passando quindi obbligatoriamente per lo \(\displaystyle 0 \).
Seguendo questa idea di fondo, ho pensato di sviluppare $f$ in $(-1,1)$ secondo Taylor con resto di Lagrange, perché vengono rispettate le ipotesi per farlo. Quindi:
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi )}{2}x^2$$
che vale \(\displaystyle \forall x \in (-1,1) \) poiché $\xi$ (\(\displaystyle |\xi |<|x| \)) si adatta a seconda del punto $x$ dove calcolo $f(x)$.
A questo punto avevo pensato di procedere per assurdo, ipotizzando che esista una funzione, la cui derivata seconda \(\displaystyle f''(x) \) non abbia radici in $(-1,1)$ (dunque $f'$ sempre crescente o sempre decrescente) e trovando almeno un \(\displaystyle x_0 \in (-1,1) \) per il quale \(\displaystyle f(x_0)>1 \) oppure \(\displaystyle f(x_0)<-1 \).
Ma qui c'è una cosa strana che non riesco ancora bene a chiarire. Pare che io possa farlo anche senza tenere in conto questa ipotesi assurda, poiché prendendo per esempio \(\displaystyle x_0=\frac{1}{2} \) ottengo:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8}\quad\quad (1)$$
dove \(\displaystyle \xi \in \left(0,\frac{1}{2}\right) \).
Dunque basta prendere una funzione qualsiasi per la quale risulti:
\(\displaystyle f'(0)>2\left(1-f(0)-\frac{f''(\xi )}{8} \right) \)
ed è fatta, poiché si ha che $f\left(\frac{1}{2}\right)>1$.
Direi che forse il problema sta nel fatto che $\xi$, oltre a dipendere dal punto dello sviluppo e dal punto di valutazione (che qui sono entrambi fissati e pari rispettivamente a \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle \frac{1}{2} \)) dipende anche da come è fatta $f$. Non ne sono certo comunque.
Includendo nel discorso l'ipotesi fatta per assurdo invece, si può ripartire da (1) e, analizzando prima il caso assurdo in cui \(\displaystyle f'' \) sia sempre positiva, fare così:
\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8} > f(0)+\frac{f'(0)}{2}\geq 1 \)
quando \(\displaystyle f'(0)\geq 2(1-f(0)) \), violando l'ipotesi sul \(\displaystyle \sup \).
Analogamente se \(\displaystyle f'' \) sempre negativa:
\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8} < f(0)+\frac{f'(0)}{2}\leq -1 \)
quando \(\displaystyle f'(0)\leq -2(1+f(0)) \).
Ci sono problemi o inesattezze nel mio percorso?
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle f \in \mathcal{C}^{(2)} (-1,1) \) ed inoltre \(\displaystyle \sup_{x\in (-1,1)}|f(x)|\leq 1 \), allora \(\displaystyle \exists \alpha \) tale che \(\displaystyle |f'(0)|>\alpha \Rightarrow f''(x) \) ha almeno una radice in \(\displaystyle (-1,1) \).
Idea grezza: esagerando con la pendenza locale in \(\displaystyle x=0 \) c'è necessariamente bisogno di ridurla con un cambio di segno della derivata seconda, per non sforare il tetto imposto dal \(\displaystyle \sup \) in \(\displaystyle (-1,1) \). Siccome poi \(\displaystyle f'' \) è continua, tale cambio di segno deve essere graduale, passando quindi obbligatoriamente per lo \(\displaystyle 0 \).
Seguendo questa idea di fondo, ho pensato di sviluppare $f$ in $(-1,1)$ secondo Taylor con resto di Lagrange, perché vengono rispettate le ipotesi per farlo. Quindi:
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi )}{2}x^2$$
che vale \(\displaystyle \forall x \in (-1,1) \) poiché $\xi$ (\(\displaystyle |\xi |<|x| \)) si adatta a seconda del punto $x$ dove calcolo $f(x)$.
A questo punto avevo pensato di procedere per assurdo, ipotizzando che esista una funzione, la cui derivata seconda \(\displaystyle f''(x) \) non abbia radici in $(-1,1)$ (dunque $f'$ sempre crescente o sempre decrescente) e trovando almeno un \(\displaystyle x_0 \in (-1,1) \) per il quale \(\displaystyle f(x_0)>1 \) oppure \(\displaystyle f(x_0)<-1 \).
Ma qui c'è una cosa strana che non riesco ancora bene a chiarire. Pare che io possa farlo anche senza tenere in conto questa ipotesi assurda, poiché prendendo per esempio \(\displaystyle x_0=\frac{1}{2} \) ottengo:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8}\quad\quad (1)$$
dove \(\displaystyle \xi \in \left(0,\frac{1}{2}\right) \).
Dunque basta prendere una funzione qualsiasi per la quale risulti:
\(\displaystyle f'(0)>2\left(1-f(0)-\frac{f''(\xi )}{8} \right) \)
ed è fatta, poiché si ha che $f\left(\frac{1}{2}\right)>1$.
Direi che forse il problema sta nel fatto che $\xi$, oltre a dipendere dal punto dello sviluppo e dal punto di valutazione (che qui sono entrambi fissati e pari rispettivamente a \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle \frac{1}{2} \)) dipende anche da come è fatta $f$. Non ne sono certo comunque.
Includendo nel discorso l'ipotesi fatta per assurdo invece, si può ripartire da (1) e, analizzando prima il caso assurdo in cui \(\displaystyle f'' \) sia sempre positiva, fare così:
\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8} > f(0)+\frac{f'(0)}{2}\geq 1 \)
quando \(\displaystyle f'(0)\geq 2(1-f(0)) \), violando l'ipotesi sul \(\displaystyle \sup \).
Analogamente se \(\displaystyle f'' \) sempre negativa:
\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8} < f(0)+\frac{f'(0)}{2}\leq -1 \)
quando \(\displaystyle f'(0)\leq -2(1+f(0)) \).
Ci sono problemi o inesattezze nel mio percorso?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Ianero!
Sei sicuro che sia vero?
Prendi $f(x)=e^(x-1)$ in $(-1,1)$ che rispetta $s u p_(x in(-1,1))|f(x)|leq1$ e $f inC^2$
$exists 1/4: |f’(0)|=e^(-1)>1/4$
Ma $f’’(x)>0$ su tutto $(-1,1)$
Sei sicuro che sia vero?
Prendi $f(x)=e^(x-1)$ in $(-1,1)$ che rispetta $s u p_(x in(-1,1))|f(x)|leq1$ e $f inC^2$
$exists 1/4: |f’(0)|=e^(-1)>1/4$
Ma $f’’(x)>0$ su tutto $(-1,1)$
Ciao anto_zoolander e grazie della risposta.
Sicuro non lo sono, ma penso sia molto probabile.
Comunque quello che mi hai fatto vedere non dovrebbe essere un controesempio, poiché potrebbe significare solo che \(\displaystyle \frac{1}{4} \) non è l'\(\displaystyle \alpha \) giusto che stavamo cercando. E' troppo basso, ne serve uno più alto.
Una cosa molto bella e credo anche profonda da notare è che \(\displaystyle \alpha \) non dipende da $f$.
Sicuro non lo sono, ma penso sia molto probabile.
Comunque quello che mi hai fatto vedere non dovrebbe essere un controesempio, poiché potrebbe significare solo che \(\displaystyle \frac{1}{4} \) non è l'\(\displaystyle \alpha \) giusto che stavamo cercando. E' troppo basso, ne serve uno più alto.
Una cosa molto bella e credo anche profonda da notare è che \(\displaystyle \alpha \) non dipende da $f$.
Mi piace questo problemino.
Per come mi sembra scritto, leggo: ‘se esiste $alpha>0: |f’(0)|>alpha$ allora $exists c in (-1,1): f(c)=0$’
Quindi se l’ho interpretato bene, funge(secondo me) come controesempio.
In ogni caso penso che lavorando con $arctan$ si possa trovare un controesempio con qualsiasi $alpha$
EDIT scusa intendevo $exp$
Per come mi sembra scritto, leggo: ‘se esiste $alpha>0: |f’(0)|>alpha$ allora $exists c in (-1,1): f(c)=0$’
Quindi se l’ho interpretato bene, funge(secondo me) come controesempio.
In ogni caso penso che lavorando con $arctan$ si possa trovare un controesempio con qualsiasi $alpha$
EDIT scusa intendevo $exp$
Non è 'se esiste', ma il fatto che \(\displaystyle \alpha \) esista è garantito, purché valgano le ipotesi su $f$.
Devi leggerla così: per tutte le funzioni che rispettano le prime due ipotesi su \(\displaystyle \mathcal{C}^{(2)} \) e \(\displaystyle \sup \), allora esiste sempre un $\alpha$ tale che tutte le funzioni prima descritte che hanno anche derivata in $0$ di modulo maggiore di $\alpha$, hanno una derivata seconda con almeno una radice in \(\displaystyle (-1,1) \).
Anche a me
Viene da una cosa più corposa che poi se ti interessa ti mando
Devi leggerla così: per tutte le funzioni che rispettano le prime due ipotesi su \(\displaystyle \mathcal{C}^{(2)} \) e \(\displaystyle \sup \), allora esiste sempre un $\alpha$ tale che tutte le funzioni prima descritte che hanno anche derivata in $0$ di modulo maggiore di $\alpha$, hanno una derivata seconda con almeno una radice in \(\displaystyle (-1,1) \).
Mi piace questo problemino.
Anche a me
Viene da una cosa più corposa che poi se ti interessa ti mando
Si mi interessa onestamente 
Ci penso un pochino su anche io
Ci penso un pochino su anche io
Domani ti invio delle cose in MP, ora provo a dormire un pò 
Grazie di esserti interessato.
Grazie di esserti interessato.
Non capisco il punto.
Ad esempio prendo $f(x)= 1/2 x^2 + x - 1/2$ che è di classe $C^oo(]-1,1[)$ ed ha $f^\prime (0) = 1$ (sicché $alpha =e/pi$ va bene) ed $f^(\prime \prime) (x) = 1$ identicamente in $]-1,1[$, sicché la derivata seconda non ha zeri in $]-1,1[$.
*** EDIT: Ho appena letto la precisazione di Ianero sul senso dell’enunciato... Che dire: se il senso è quello, il testo dell’esercizio è scritto male.
Una forma un po’ più corretta sarebbe la seguente:
Ad esempio prendo $f(x)= 1/2 x^2 + x - 1/2$ che è di classe $C^oo(]-1,1[)$ ed ha $f^\prime (0) = 1$ (sicché $alpha =e/pi$ va bene) ed $f^(\prime \prime) (x) = 1$ identicamente in $]-1,1[$, sicché la derivata seconda non ha zeri in $]-1,1[$.
*** EDIT: Ho appena letto la precisazione di Ianero sul senso dell’enunciato... Che dire: se il senso è quello, il testo dell’esercizio è scritto male.
Una forma un po’ più corretta sarebbe la seguente:
Esiste un $alpha >= 0$ tale che per ogni $f in C^2(]-1,1[)$ con \(\sup |f| \leq 1\) e $|f^\prime (0)| > alpha$ risulta $f^(\prime \prime ) (x) = 0$ in almeno un punto di $]-1,1[$.
Okay, chiedo scusa se l’ho scritta male.
Che ne pensi del mio tentativo di dimostrazione?
Che ne pensi del mio tentativo di dimostrazione?
"Ianero":
Okay, chiedo scusa se l’ho scritta male.
Figurati.
"Ianero":
Che ne pensi del mio tentativo di dimostrazione?
Penso che, avendo scritto male l’enunciato, hai sbagliato a formulare l’ipotesi dell’assurdo.
Per me l'ipotesi assurda deve essere la seguente.
Per qualsiasi \(\displaystyle \alpha \) che scelgo riesco sempre a trovare una $f$ con queste caratteristiche:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
f\in\mathcal{C}^{(2)}(-1,1)
\\ \sup_{x\in (-1,1)}|f(x)|\leq 1
\\ |f(0)|>\alpha
\\ f'' \text{ senza radici in }(-1,1)
\end{matrix}\right. \)
Sbaglio?
Se è giusta, ora devo far vedere che ciò non è possibile, e lo faccio vedere trovando un \(\displaystyle \alpha \) e violando una delle caratteristiche elencate per $f$, in particolare quella sul \(\displaystyle \sup \).
Non è questo ciò che ho fatto in [1]?
Ti ringrazio.
Per qualsiasi \(\displaystyle \alpha \) che scelgo riesco sempre a trovare una $f$ con queste caratteristiche:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
f\in\mathcal{C}^{(2)}(-1,1)
\\ \sup_{x\in (-1,1)}|f(x)|\leq 1
\\ |f(0)|>\alpha
\\ f'' \text{ senza radici in }(-1,1)
\end{matrix}\right. \)
Sbaglio?
Se è giusta, ora devo far vedere che ciò non è possibile, e lo faccio vedere trovando un \(\displaystyle \alpha \) e violando una delle caratteristiche elencate per $f$, in particolare quella sul \(\displaystyle \sup \).
Non è questo ciò che ho fatto in [1]?
Ti ringrazio.
Faccio una correzione al mio procedimento, dopo aver riflettuto di più sulle parole di @gugo82.
Era il finale della dimostrazione in [1] ad avere qualche problema, riscrivo la dimostrazione qui per intero con le correzioni che credo necessiti.
Dunque, supponiamo per assurdo che:
\(\displaystyle \forall \alpha >0 \; \exists f_{\alpha}: (-1,1)\to \mathbb{R} \) tale che \( \displaystyle \left\{\begin{matrix} f_{\alpha}\in\mathcal{C}^{(2)}(-1,1) \\ \sup_{x\in (-1,1)}|f_{\alpha}(x)|\leq 1 \\ |f_{\alpha}(0)|>\alpha \\ f_{\alpha}'' \text{ senza radici in }(-1,1) \end{matrix}\right. \).
Dunque, la fantomatica $f_{\alpha}$, qualunque essa sia, verifica le ipotesi per poterla scrivere come:
\(\displaystyle f_{\alpha}(x)=f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x+\frac{f_{\alpha}''(\xi)}{2}x^2 \)
per ogni \(\displaystyle x \in (-1,1) \) e con \(\displaystyle |\xi |<|x| \).
Quindi, poiché \(\displaystyle f_{\alpha}'' \) non ha radici ma è continua, essa o è sempre positiva o sempre negativa, e allora se per esempio fosse sempre positiva si avrebbe:
\(\displaystyle f_{\alpha}(x)=f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x+\frac{f_{\alpha}''(\xi)}{2}x^2 \geq f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x \geq f_{\alpha}(0) + \alpha |x| \)
per ogni \(\displaystyle x \in (-1,1) \).
In particolare:
\(\displaystyle f_{\alpha}\left(\frac{1}{2}\right) \geq f_{\alpha}(0) + \frac{\alpha}{2} \geq -1+ \frac{\alpha}{2} \)
che deve essere vero per ogni \(\displaystyle \alpha \) (e quindi qualunque sia la \(\displaystyle f_{\alpha} \) di turno).
Ciò è assurdo se si sceglie un \(\displaystyle \alpha \) abbastanza grande.
Il caso in cui \(\displaystyle f_{\alpha}'' \) sia sempre negativa è completamente analogo.
Ti sembra un ragionamento corretto così?
Era il finale della dimostrazione in [1] ad avere qualche problema, riscrivo la dimostrazione qui per intero con le correzioni che credo necessiti.
Dunque, supponiamo per assurdo che:
\(\displaystyle \forall \alpha >0 \; \exists f_{\alpha}: (-1,1)\to \mathbb{R} \) tale che \( \displaystyle \left\{\begin{matrix} f_{\alpha}\in\mathcal{C}^{(2)}(-1,1) \\ \sup_{x\in (-1,1)}|f_{\alpha}(x)|\leq 1 \\ |f_{\alpha}(0)|>\alpha \\ f_{\alpha}'' \text{ senza radici in }(-1,1) \end{matrix}\right. \).
Dunque, la fantomatica $f_{\alpha}$, qualunque essa sia, verifica le ipotesi per poterla scrivere come:
\(\displaystyle f_{\alpha}(x)=f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x+\frac{f_{\alpha}''(\xi)}{2}x^2 \)
per ogni \(\displaystyle x \in (-1,1) \) e con \(\displaystyle |\xi |<|x| \).
Quindi, poiché \(\displaystyle f_{\alpha}'' \) non ha radici ma è continua, essa o è sempre positiva o sempre negativa, e allora se per esempio fosse sempre positiva si avrebbe:
\(\displaystyle f_{\alpha}(x)=f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x+\frac{f_{\alpha}''(\xi)}{2}x^2 \geq f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x \geq f_{\alpha}(0) + \alpha |x| \)
per ogni \(\displaystyle x \in (-1,1) \).
In particolare:
\(\displaystyle f_{\alpha}\left(\frac{1}{2}\right) \geq f_{\alpha}(0) + \frac{\alpha}{2} \geq -1+ \frac{\alpha}{2} \)
che deve essere vero per ogni \(\displaystyle \alpha \) (e quindi qualunque sia la \(\displaystyle f_{\alpha} \) di turno).
Ciò è assurdo se si sceglie un \(\displaystyle \alpha \) abbastanza grande.
Il caso in cui \(\displaystyle f_{\alpha}'' \) sia sempre negativa è completamente analogo.
Ti sembra un ragionamento corretto così?
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