Radice complessa

[eccelsius]

Salve, preparandomi per l'esame di analisi 1, mi sono imbattuto in questo esercizio di una passata prova d'esame:
Calcolare $z$ $in$ $CC$ tali che $(z-1)^4 = 1-isqrt3$
Esercizi del genere li ho sempre risolti con il calcolo della radice n-esima di un numero complesso anche se mi erano sempre capitati casi in cui la base della potenza fosse solo un'incognita.Ho cercato di ovviare a questo problema ponendo $z-1=t$ ma i calcoli che mi escono sono troppo complicati da risolvere a mano dato che mi escono seni e coseni di $-(1/12) pi +k(pi/2)$ che non saprei proprio come risolvere in sede d'esame.
Ho pensato poi di mettere entrambi i termini sotto radice di 4 per "svincolare" (z-1) ma non mi ha portato a grandi risultati.
Se qualcuno mi potesse aiutare mi farebbe un grande piacere.
Grazie in anticipo

[Alegomind]

Ciao, se non mi sbaglio, potresti provare a calcolare $(1-isqrt(3))^(1/4)$ ,che non dovrebbe darti grandi problemi, ed eguagliare ciascuna soluzione a $z-1$ dove con z si intende un generico numero complesso della forma $z=x+iy$. Prova questa strategia di risoluzione

[eccelsius]

purtroppo non saprei come calcolare $ (1-isqrt(3))^(1/4) $

[@melia]

"eccelsius":...ma i calcoli che mi escono sono troppo complicati da risolvere a mano dato che mi escono seni e coseni di $-(1/12) pi +k(pi/2)$ che non saprei proprio come risolvere in sede d'esame.

Devi usare le formule di bisezione a partire dall'angolo $pi/6$

[Alegomind]

"eccelsius":purtroppo non saprei come calcolare $ (1-isqrt(3))^(1/4) $

Le radici n-esime dei numeri complessi vengono calcolate sostituendo di volta in volta a k (k=0,1,2,..,n) nella seguente formula:

$(z)^(1/n)=(|z|)^(1/n)(cos((alpha+2kpi)/n)+isen((alpha+2kpi)/n))$

con $alpha$ argomento del numero complesso in forma trigonometrica

[eccelsius]

grazie, siete stati gentilissimi