Raccoglimento in radici cubiche

[valesyle92]

sul mio quaderno di appunti vedo scritto $root(3)((n^3+n+1)^2)$ $ =$ $root(3)(n^3(n^3/n^3+n/n^3+1/n^3)^2)$


quindi e' stato fatto un raccoglimento di $n ^3 $ ma è possibile nonostante la partentesi rotonda sia elevata al quadrato? Quindi è giusto tutto cio' ?

[ELWOOD1]

a meno che quel quadrato non riguardi tutta la radice, non mi sembra corretto

[valesyle92]

anche a me pare di no....!! la cosa viene fuori perchè ho un limite



e facendo vari conti sui miei appunti si arriva al limite : $\lim_{n \to \infty} (2*n)/ [(n^3+n+1)^(2/3) +(n^3+n+1)^(1/3) * (n^3-n+1)^(1/3) + (n^3-n+1)^(2/3) ] $


in qualche modo devo semplificare quel n al numeratore la sopra almeno cosi viene fatto...pero' in modo strano raccogliendo n al denominatore

[ELWOOD1]

qual è il risultato? così a occhio il limite tenderebbe a un qualcosa come $1/n$ quindi a $0$

[valesyle92]

si ma io nn so bene come raccogliere n al denominatore....

[ELWOOD1]

il fatto che il limite tende a infinito ti da delle indicazioni su come semplificare alcuni termini...in particolare quelli di grado minore

[laska1]

Considera che "detta legge" il termine con l'esponente maggiore...Quindi, quale termine metteresti a fattore comune in ogni parentesi?

[valesyle92]

ahh....quindi $(n^3+n+1)^(2/3) $ equivale ad $ n^3( 1+n/n^3 +1/n^3) ^(2/3) $ ??

[_prime_number]

No, se raccogli $n^3$ dentro, quando lo porti fuori devi fare
$n^{3*2/3} = n^2$

Paola

[gugo82]

@valestyle: Questa è manipolazione algebrica che dovresti conoscere dalle scuole medie...

Infatti:
\[
\sqrt[3]{(n^3+n+1)^2} =\sqrt[3]{n^6 \left( 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)^2} =n^2\ \sqrt[3]{\left( 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)^2}\; .
\]
Anche a te dò lo stesso consiglio che ho dato ad un altro utente qui.

[valesyle92]

si hai ragione gugo82!! Quelle radici mi spaventavano troppo! Pero' almeno ho fatto l'esercizio e ho tappato la lacuna!!!Scusate ancora del disturbo!