R-Q cardinalmente denso?

[jiulia13]

Salve, avrei bisogno di aiuto per un esercizio dato dal professore di analisi uno.
Come posso fare per dimostrare che $R - Q$ ($R$=insieme dei numeri reali e $Q$=insieme dei numeri razionali) è cardinalmente denso in $R$?
Io so cosa significa densità, cardinalità e che card($R$)>card($Q$) ma non riesco a capire come devo procedere per fare questa dimostrazione.
Grazie anticipatamente!

[Paolo902]

Benvenuta tra noi, jiulia13.

Personalmente non ho mai sentito parlare di insieme "cardinalmente denso" in $RR$, ho solo sentito parlare di insiemi "densi" in $RR$ (e, siccome a quanto dici, è un esercizio dato ad Analisi I, penso che ciò a cui tu ti stai riferendo sia proprio questo).

Bene, dobbiamo dimostrare, in poche parole, che tra due irrazionali ce ne sta sempre un altro.
Idee tue?

Conosci già la densità dei razionali in $RR$? Una buona idea sarebbe ricondursi in un modo "intelligente" a quel caso, se già lo conosci...

[gugo82]

"Paolo90":Personalmente non ho mai sentito parlare di insieme "cardinalmente denso" in $RR$, ho solo sentito parlare di insiemi "densi" in $RR$ (e, siccome a quanto dici, è un esercizio dato ad Analisi I, penso che ciò a cui tu ti stai riferendo sia proprio questo).

Dire "cardinalmente denso" non ha senso (strettamente parlando): infatti la cardinalità è una questione puramente algebrica, mentre la densità è una questione puramente topologica; quindi (strettamente parlando) un'espressione come "cardinalmente denso" mischia due ambiti totalmente diversi.
Dopodiché, se posso, tento un'esegesi: secondo me dimostrare che [tex]$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$[/tex] è cardinalmente denso in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] equivale a dimostrare che 1) [tex]$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$[/tex] ha la stessa cardinalità di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e 2) [tex]$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$[/tex] è denso in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].

[Paolo902]

"gugo82":
Dire "cardinalmente denso" non ha senso (strettamente parlando): infatti la cardinalità è una questione puramente algebrica, mentre la densità è una questione puramente topologica; quindi (strettamente parlando) un'espressione come "cardinalmente denso" mischia due ambiti totalmente diversi.

Appunto; ora capisco perchè non ne avevo sentito parlare.

[jiulia13]

Grazie mille per l'aiuto!
Ora capisco come dovrei procedere... Anche a me non tornava il cardinalmente denso! Grazie!

[keccogrin-votailprof]

"jiulia13":Grazie mille per l'aiuto!
Ora capisco come dovrei procedere...

A me invece non è ancora chiaro come fare... Supponiamo di sapere che \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Dopodiché come si deve fare?
Io ho provato a ragionare per assurdo, imponendo ad esempio che l'interno di \(\displaystyle (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})^c = \mathbb{Q} \) non sia vuoto. Ma poi non riesco ad andare avanti... Help?