"WANTED" f(x)

[dennysmathprof]

se [tex]f: R\rightarrow R[/tex] funzione continua

1)[tex]f\left( x \right)f\left( { - x} \right) = 1,\forall x \in R[/tex]και
2)[tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to + \infty } \left( {f\left( {x + h} \right)f\left( {x - h} \right)} \right) = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2},\forall x \in R[/tex]

avete qualche idea come posso trovare la f ,Credo che [tex]f(x)=e^x[/tex]

[gugo82]

Anche \(f(x):=-e^x\) pare vada bene, come pure \(f(x):=e^{-x}\), oppure \(f(x):=-e^{-x}\)...

[Paolo902]

[ot]@dennysmathprof

Hi, where do you come from? Are you from Greece?[/ot]

[Rigel1]

Vanno bene tutte le funzioni del tipo \(f(x) = \pm e^{\alpha x}\), con \(\alpha\in\mathbb{R}\).

[Rigel1]

Alla fine questo esercizio si è rivelato abbastanza interessante.

Cominciamo ad osservare che \(f\) è una funzione continua che non si annulla mai; di conseguenza o è sempre positiva o è sempre negativa. Consideriamo il caso \(f(x) > 0\) per ogni \(x\) (l'altro è analogo).
Definiamo \(g(x) := \log f(x)\); le proprietà date diventano:
1. \(g(x) + g(-x) = 0\), cioè \(g\) è una funzione dispari;
2. \(\displaystyle\lim_{h\to + \infty} [g(x+h) + g(x-h)] = 2g(x)\) per ogni \(x\).
Usando queste proprietà deduciamo che:
\[
\begin{split}
\lim_{h\to+\infty} [g(x+h) - g(h)] & = \lim_{h\to + \infty}[g(h+x)+ g(-h)]
\\ & = \lim_{h\to +\infty} [g((h+x/2) + x/2) + g(x/2 - (h+x/2))] = 2 g(x/2).
\end{split}
\]
Analogamente si dimostra che
\[
\lim_{h\to+\infty} [g(h) - g(h-x)] = 2 g(x/2).
\]
Passando ora al limite per \(h\to +\infty\) nell'uguaglianza
\[
g(h+x) - g(h-x) = g(h+x) - g(h) + g(h) - g(h-x)
\]
otteniamo l'identità
\[
(L)\qquad g(x) = 2 g(x/2), \qquad \forall x\in\mathbb{R}.
\]
Come è noto (è già stato dimostrato in questo forum, non ricordo dove), le uniche funzioni continue soddisfacenti a questa relazione sono quelle lineari, vale a dire, esiste \(\alpha\in\mathbb{R}\) tale che \(g(x) = \alpha x\).
Di conseguenza \(f(x) = e^{\alpha x}\).
Se non si vuole usare la caratterizzazione (L) delle funzioni lineari continue, si può procedere come segue:
\[
\begin{split}
2g(x+y) & = \lim_{h\to+\infty} [g(x+y+h) + g(x+y-h)]
\\ & = \lim_{h\to+\infty} [g(x+y+h) + g(x-y-h) -g(x-y-h)+g(x+y-h)]
\\ & = \lim_{h\to+\infty} [g(x+y+h) + g(x-y-h) +g(-x+y+h)+g(x+y-h)] = 2g(x) + 2g(y).
\end{split}
\]

Se consideriamo il caso \(f < 0\) otteniamo invece la famiglia di funzioni \(f(x) = - e^{\alpha x}\).

[dennysmathprof]

Rigel grazie mille

Era molto interessante e se non sbaglio la f(x) e' CAUCHY

[Rigel1]

"dennysmathprof":se non sbaglio la f(x) e' CAUCHY

Cosa vuol dire?