"Traslazione" di un polinomio

[l_Dirac]

Supponendo di avere un polinomio di grado n $ P(x) = \sum_{k=0}^{n} p_{k}(x-x_{p})^{k} $ , dove sono assegnati tutti i coefficienti $ p_{k} $ e $x_{p} $, è nota una formula per riscrivere lo stesso polinomio nella forma $ P(x) = \sum_{k=0}^{n} q_{k}(x-x_{q})^{k} $, assegnato il solo $x_{q}$, cioè una relazione che fornisca tutti i "nuovi" coefficienti $q_{k} $ in funzione dei "vecchi" coefficienti e di $x_{p} $ , $x_{q}$ ? Qualora non fosse nota, trovare tale relazione avrebbe una qualche applicazione? Quanto potrebbe essere utile?

[gugo82]

È nota e per ricavarla basta usare la formula del binomio di Newton.

Si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{k = 0}^n p_k (x - x_p)^k &= \sum_{k = 0}^n p_k (x - x_q + (x_q - x_p))^k \\
&= \sum_{k = 0}^n p_k \sum_{h = 0}^k \binom{k}{h} (x - x_q)^h (x_q - x_p)^{k - h}\\
&= \sum_{h = 0}^n \underbrace{\left[ \sum_{k = h}^n \binom{k}{h} p_k (x_q - x_p)^{k - h}\right]}_{=: q_h}\ (x - x_q)^h \; .
\end{split}
\]