"Significato geometrico" integrale di superficie...

[menale1]

Carissimi ragazzi nel corso del mio studio in vista dell'esame di analisi II, mi è sovvenuta un'interpretazione geometrica (poco visiva a dir la verità) dell'integrale superficiale. Partiamo col dire che facciamo riferimento ad un qualcosa che si struttura con l'ausilio di una quarta dimensione. Se dicessi che l'integrale superficiale di una funzione di tre variabili, positiva sul sostegno di tale superficie, è da considerarsi come l'ipervolume (spero di non aver abusato eccessivamente del linguaggio) compreso tra la funzione e la superficie in questione, ovviamente in un riferimento 4-dimensionale? Esecrabile come "definizione"? Troppo legata alla visione geometrica del piano e dello spazio?
In attesa di vostre dritte in merito, ringrazio anticipatamente per la collaborazione.

[Rigel1]

Più che esecrabile è sbagliata.
Prova a calcolare l'integrale di superficie della funzione costante \(f = 1\) sulla superficie della sfera di raggio \(1\).
Se quanto detto da te fosse corretto, tale integrale dovrebbe coincidere col volume della corona sferica compresa fra le superfici sferiche di raggio \(1\) e \(2\). Prova a fare i conti e vedere cosa viene.

[menale1]

Prima che io mi accinga voglio chiarire una cosetta.

"Rigel": volume della corona sferica compresa fra le superfici sferiche di raggio 1 e 2

Io ho fatto riferimento ad "ipervolumi" (sempre scusandomi per l'eventuale abuso di nomenclatura
).

[menale1]

"Rigel":rova a calcolare l'integrale di superficie della funzione costante f=1 sulla superficie della sfera di raggio 1.

Ottengo l'area della sfera!!
D'altronde verrebbe fuori proprio la definizione di area di una superficie considerando la funzione identicamente eguale ad 1. Il problema di base è che sto preparando l'esame di analisi II e gli integrali superficiali sono introdotti dal mio testo di riferimento (per la cronaca "Marcellini-Sbordone") senza una strutturazione completa di base, ma solo per poter spiegare successivamente i flussi. A tal punto chiedo se esista un'esposizione più completa a riguardo di tale integrazione, così come si fa quando si introduce l'integrale di Riemann e quando si introduce l'integrale curvilineo, con considerazioni geometriche a riguardo.
P.S. Chiedo venia per la domanda su domanda.