"Piccolo" problema con integrale triplo.
Questa volta ho riscontrato questo problema:
Ho la traccia di un esercizio che dice:
Integrare $g(x,y,z)= x^4*y*(y^2+z^2)$ sulla superficie generata dal cilindro $y^2+z^2=25$ e delimitata dai piani $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=4$, $z=0$, $z=3$.
Sembra abbastanza semplice, fin troppo semplice. E infatti è questo il mio problema! Mi disegno approssimativamente il dominio sul quaderno e in pratica mi esce fuori un parallelepipedo dentro il cilindro avente generatrici parallele all'asse $x$. Quindi avrei i vincoli:
$0<=x<=1$, $0<=y<=4$, $0<=z<=3$.
Dove stò sbagliando...?
Ho la traccia di un esercizio che dice:
Integrare $g(x,y,z)= x^4*y*(y^2+z^2)$ sulla superficie generata dal cilindro $y^2+z^2=25$ e delimitata dai piani $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=4$, $z=0$, $z=3$.
Sembra abbastanza semplice, fin troppo semplice. E infatti è questo il mio problema! Mi disegno approssimativamente il dominio sul quaderno e in pratica mi esce fuori un parallelepipedo dentro il cilindro avente generatrici parallele all'asse $x$. Quindi avrei i vincoli:
$0<=x<=1$, $0<=y<=4$, $0<=z<=3$.
Dove stò sbagliando...?
Risposte
Non è un integrale triplo ma un integrale di superficie: dovresti parametrizzare la superficie su cui integrare.
"ciampax":
Non è un integrale triplo ma un integrale di superficie: dovresti parametrizzare la superficie su cui integrare.
Ti riferisci al cilindo più i vari piani, giusto?! Dando quindi per scontato che ignoro abbastanza l'argomento (se lo conoscevo anche un minimo sicuramente avrei "ipotizzato" che si dovesse fare come hai detto tu), a me verrebbe spontaneo parametrizzare con le coordinate cilindriche. Sono andato quindi a dare una spulciatina su Wikipedia per vedere se avrei dovuto fare così e, se non ho capito male, le coordinate polari e cilindriche non c'entrano nulla, giusto?!
Allora, partiamo con calma: da come è scritta la traccia, a me viene da dire che devi calcolare il seguente integrale:
$\int_\Sigma g(x,y,z)\ d\sigma$
essendo $\Sigma$ la superficie delimitata da tutte le varie condizioni. Per prima cosa, osserviamo che $\Sigma$ è una porzione del cilindro con asse coincidente con l'asse delle $x$ e di sezioni circolari di centro un punto sull'asse $x$ e raggio $5$. Le prime due limitazioni, ti dicono che devi considerare il cilindro con le basi rispettivamente sui piani $x=0$ e $x=1$. Le altre due condizioni ti dicono che devi sezionare questo cilindro in modo da prendere la metà a destra di esso rispetto all'asse $x$ (a causa della presenza del piano $y=0$) e fermarti sul piano $y=4$: quello che ottieni, fino a questo punto, è una sorta di semicilindro tronco, tutto a destra dell'asse $x$, delimitato dalla base per $y=4$. Infine, le condizioni $z=0$ e $z=3$ danno una ulteriore limitazione dicendoti che devi mantenerti nella parte superiore e quindi nel primo ottante e sotto il piano $z=3$. Se provi a disegnare questi piani e poi il cilindro, ti accorgerai che in realtà la figura che ti serve è data dal parallelepipedo rettangolo delimitato dai piani scritti prima.
Pertanto quello che dovrai fare è scrivere 6 integrali di superficie (uno per ogni piano) con le dovute limitazioni.
Se ora $r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ è una parametrizzazione della superficie, con $u\in[a,b],\ v\in[c,d]$ allora l'integrale di superficie diventa
$\int_a^b\int_c^d g(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot ||r_u\times r_v||\ du\ dv$
dove $r_u,\ r_v$ sono le derivate parziali di $r(u,v)$ e $\times$ è il prodotto vettoriale.
Prova a farlo, tenendo conto che sui piani le parametrizzazioni sono abbastanza semplici: ad esempio se consideri $x=0$ dovrai porre $r(u,v)=(0,u,v)$ con $u\in[0,4],\ v\in[0,3]$.
$\int_\Sigma g(x,y,z)\ d\sigma$
essendo $\Sigma$ la superficie delimitata da tutte le varie condizioni. Per prima cosa, osserviamo che $\Sigma$ è una porzione del cilindro con asse coincidente con l'asse delle $x$ e di sezioni circolari di centro un punto sull'asse $x$ e raggio $5$. Le prime due limitazioni, ti dicono che devi considerare il cilindro con le basi rispettivamente sui piani $x=0$ e $x=1$. Le altre due condizioni ti dicono che devi sezionare questo cilindro in modo da prendere la metà a destra di esso rispetto all'asse $x$ (a causa della presenza del piano $y=0$) e fermarti sul piano $y=4$: quello che ottieni, fino a questo punto, è una sorta di semicilindro tronco, tutto a destra dell'asse $x$, delimitato dalla base per $y=4$. Infine, le condizioni $z=0$ e $z=3$ danno una ulteriore limitazione dicendoti che devi mantenerti nella parte superiore e quindi nel primo ottante e sotto il piano $z=3$. Se provi a disegnare questi piani e poi il cilindro, ti accorgerai che in realtà la figura che ti serve è data dal parallelepipedo rettangolo delimitato dai piani scritti prima.
Pertanto quello che dovrai fare è scrivere 6 integrali di superficie (uno per ogni piano) con le dovute limitazioni.
Se ora $r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ è una parametrizzazione della superficie, con $u\in[a,b],\ v\in[c,d]$ allora l'integrale di superficie diventa
$\int_a^b\int_c^d g(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot ||r_u\times r_v||\ du\ dv$
dove $r_u,\ r_v$ sono le derivate parziali di $r(u,v)$ e $\times$ è il prodotto vettoriale.
Prova a farlo, tenendo conto che sui piani le parametrizzazioni sono abbastanza semplici: ad esempio se consideri $x=0$ dovrai porre $r(u,v)=(0,u,v)$ con $u\in[0,4],\ v\in[0,3]$.
Ok, grazie di nuovo ciampax! 
Allora, ho fatto come hai detto tu e mi sono calcolato tutte le parametrizzazioni (che effettivamente sono semplici) e ho "trovato" $6$ vettori con le dovute limitazioni. Faccio un esempio per un solo vettore prendendo ad esempio per $z=3$ avrò $r(u,v)= (u,v,3)$ con $u \in [0,1]$, $v \in [0,4]$.
La cosa che non ho capito molto (che ho paura di non aver capito molto) è ora l'integrale da fare. Tralasciando naturalmente le altre 5 superfici, avrei questo integrale..?
$\int_0^1 \int_0^4 (u,v,3)*||(1,0,0)*(0,1,0)||du dv$
P.s.
Non voglio correre troppo, quindi scusami se vado a rilento nei passaggi..!
Allora, ho fatto come hai detto tu e mi sono calcolato tutte le parametrizzazioni (che effettivamente sono semplici) e ho "trovato" $6$ vettori con le dovute limitazioni. Faccio un esempio per un solo vettore prendendo ad esempio per $z=3$ avrò $r(u,v)= (u,v,3)$ con $u \in [0,1]$, $v \in [0,4]$.
La cosa che non ho capito molto (che ho paura di non aver capito molto) è ora l'integrale da fare. Tralasciando naturalmente le altre 5 superfici, avrei questo integrale..?
$\int_0^1 \int_0^4 (u,v,3)*||(1,0,0)*(0,1,0)||du dv$
P.s.
Non voglio correre troppo, quindi scusami se vado a rilento nei passaggi..!
Prodotto vettoriale, non scalare. E no, quello che devi fare è la cosa seguente: la parametrizzazione è corretta. il prodotto vettoriale $(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)$ (sai perché?) la cui norma è $1$. Inoltre devi sostituire i valori della parametrizzazione nella funzione $g$ da integrare, e pertanto:
$\int_0^1\int_0^4 u^4 v(v^2+9)\ du\ dv$
è l'integrale corretto.
$\int_0^1\int_0^4 u^4 v(v^2+9)\ du\ dv$
è l'integrale corretto.
"ciampax":
Prodotto vettoriale, non scalare. E no, quello che devi fare è la cosa seguente: la parametrizzazione è corretta. il prodotto vettoriale $(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)$ (sai perché?) la cui norma è $1$. Inoltre devi sostituire i valori della parametrizzazione nella funzione $g$ da integrare, e pertanto:
$\int_0^1\int_0^4 u^4 v(v^2+9)\ du\ dv$
è l'integrale corretto.
Sisisisisisisi, perdono! Il prodotto vettoriale si risolve calcolando il determinante della matrice
$|(i,j,k),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)|$.
Ok, tutto chiaro! Dopodichè devo sommare tutti e sei gli integrali per risolvere l'esercizio, giusto..?!?
Esatto, anche se alcuni integrali spariscono (quelli in cui $x=0$ o $y=0$).
Grazie mille, ciampax!! 
Un ultimissimo dubbio/domanda: tu naturalmente ti sei "accorto" che andava applicato questo metodo dal modo in cui era stato posto l'esercizio, vero (mi riferisco alla parte in cui il testo dice "Integrare sulla superficie generata")?!
P.s.
Sapresti suggerirmi qualche link dove posso trovare esercizi a riguardo?!
Un ultimissimo dubbio/domanda: tu naturalmente ti sei "accorto" che andava applicato questo metodo dal modo in cui era stato posto l'esercizio, vero (mi riferisco alla parte in cui il testo dice "Integrare sulla superficie generata")?!
P.s.
Sapresti suggerirmi qualche link dove posso trovare esercizi a riguardo?!
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