"Piccoli" problemi con o-piccolo
Mi trovo dinanzi a due affermazioni del libro che non comprendo pur avendo studiato gli o-piccoli
$(x-x^3/6+o(x^3))^2=x^2+o(x^3)$
Non riesco proprio a capire perché ci sia un o-piccolo di x^3, infatti sviluppando il quadrato mi troverei con doppi prodotti che per l'algebra degli o-piccolo dovrebbero essere al minimo un x^4 infatti avrei come caso minimo: $2x*o(x^3)=o(2x^4)=o(x^4)$
Altra affermazione è:
$o((x+x^2/2+o(x^2))^2)=o(x^2)$
Non riesco proprio a comprendere queste due affermazioni,come ha fatto?
grazie
$(x-x^3/6+o(x^3))^2=x^2+o(x^3)$
Non riesco proprio a capire perché ci sia un o-piccolo di x^3, infatti sviluppando il quadrato mi troverei con doppi prodotti che per l'algebra degli o-piccolo dovrebbero essere al minimo un x^4 infatti avrei come caso minimo: $2x*o(x^3)=o(2x^4)=o(x^4)$
Altra affermazione è:
$o((x+x^2/2+o(x^2))^2)=o(x^2)$
Non riesco proprio a comprendere queste due affermazioni,come ha fatto?
grazie
Risposte
Si intende che \(x\to 0\)? Questo lo devi specificare altrimenti cambia tutto. Se così fosse avresti ragione tu sul primo, è \(o(x^4)\).
Hai ragione. Grazie per la correzione x->0, certo!
Ok quindi il primo ci siamo.
E perché invece il secondo è $ o(x^2)$? Come ne esce, anche qui mi sembra scorretto.
EDITO:
Sviluppando mi viene qualcosa del genere:
$o((x+x^2/2+o(x^2))^2)=o(x^2+x^4/4+o(x^4)+x^3+2x*o(x^3)+x^2/x*o(x^2))=o(x^2+x^4/4+o(x^4)+x^3+o(x^3)+o(x^4))=o(x^2+x^3+o(x^3))$
A questo punto
SUPPOSIZIONE
essendo $x^3=o(x^2)$ riscrive
$o(x^2+x^3+o(x^3))=o(x^2+o(x^2)+o(x^3))=o(x^2+o(x^2))$
proprietà degli o-piccolo
$o(x^2+o(x^2))=o(x^2)$
Ditemi se ho compreso giusto
Ok quindi il primo ci siamo.
E perché invece il secondo è $ o(x^2)$? Come ne esce, anche qui mi sembra scorretto.
EDITO:
Sviluppando mi viene qualcosa del genere:
$o((x+x^2/2+o(x^2))^2)=o(x^2+x^4/4+o(x^4)+x^3+2x*o(x^3)+x^2/x*o(x^2))=o(x^2+x^4/4+o(x^4)+x^3+o(x^3)+o(x^4))=o(x^2+x^3+o(x^3))$
A questo punto
SUPPOSIZIONE
essendo $x^3=o(x^2)$ riscrive
$o(x^2+x^3+o(x^3))=o(x^2+o(x^2)+o(x^3))=o(x^2+o(x^2))$
proprietà degli o-piccolo
$o(x^2+o(x^2))=o(x^2)$
Ditemi se ho compreso giusto
"suppatruppa":Però avresti pure il doppio prodotto tra \(x\) e \(-\frac{x^3}{6}\) che è proporzionale a \(x^4\). Dal momento che arresti lo sviluppo del quadrato a \(x^2\) è necessario diminuire l'esponente dell'o-piccolo, da \(o(x^4)\) a \(o(x^3)\).
$(x-x^3/6+o(x^3))^2=x^2+o(x^3)$
Non riesco proprio a capire perché ci sia un o-piccolo di x^3, infatti sviluppando il quadrato mi troverei con doppi prodotti che per l'algebra degli o-piccolo dovrebbero essere al minimo un x^4 infatti avrei come caso minimo: $2x*o(x^3)=o(2x^4)=o(x^4)$
Beh grazie mille per la risposta.
Sebbene per il primo dubbio ora mi ci ritrovi abbastanza, il problema maggiore ora verte sul secondo proposto.
Io me la sono risolta così
ma non capisco se sia corretto o mie elucubrazioni
Sebbene per il primo dubbio ora mi ci ritrovi abbastanza, il problema maggiore ora verte sul secondo proposto.
Io me la sono risolta così
"suppatruppa":
EDITO:
Sviluppando mi viene qualcosa del genere:
$o((x+x^2/2+o(x^2))^2)=o(x^2+x^4/4+o(x^4)+x^3+2x*o(x^3)+x^2/x*o(x^2))=o(x^2+x^4/4+o(x^4)+x^3+o(x^3)+o(x^4))=o(x^2+x^3+o(x^3))$
A questo punto
SUPPOSIZIONE
essendo $x^3=o(x^2)$ riscrive
$o(x^2+x^3+o(x^3))=o(x^2+o(x^2)+o(x^3))=o(x^2+o(x^2))$
proprietà degli o-piccolo
$o(x^2+o(x^2))=o(x^2)$
Ditemi se ho compreso giusto
ma non capisco se sia corretto o mie elucubrazioni
"seb":
Dal momento che arresti lo sviluppo del quadrato a \(x^2\) è necessario diminuire l'esponente dell'o-piccolo, da \(o(x^4)\) a \(o(x^3)\).
Non sono d'accordo, così dai una stima peggiore. Puoi metterci \(o(x^4)\).
@suppatruppa: Hai "compreso giusto", come dici tu.
Sì? In che senso?
Se scrivi \(x^2+o(x^3)\) dici una cosa corretta, ma in questo caso puoi scrivere \(x^2+o(x^4)\), ed è più preciso. Nel secondo caso dai una stima dell'errore più piccola.
Se sviluppi \(\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^2\) ottieni \(x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)\) dopo aver applicato le usuali proprietà dell'o-piccolo. Dal momento che \(-\frac{x^4}{3}\neq o(x^4)\) se vogliamo troncare tale polinomio al secondo grado dobbiamo tenere conto della soppressione del termine di quarto grado. È un po' come se tu stessi dicendo che \(x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)=x^2+o(x^4)\), no? Se invece si passa da \(o(x^4)\) a \(o(x^3)\) l'addendo \(-\frac{x^4}{3}\) viene inglobato in \(o(x^3)\). Se elimini un termine dal polinomio che fornisce una stima coll'aumentare degli addendi sempre più accurata del valore che la funzione assume nell'intorno di un punto direi che tale stima peggiora e, per conseguenza, il valore della funzione che tiene conto dell'errore deve aumentare.
Uuuhh hai ragione. Confondevo o-piccolo con O-grande, di solito faccio i conti con gli O-grandi. Si si, io sto dicendo che \(x^4=o(x^4)\) e questo è falso. Chiedo scusa.
Nella mia testa stavo pensando \((x+x^3+o(x^3))^2=x^2+O(x^4)\).
Nella mia testa stavo pensando \((x+x^3+o(x^3))^2=x^2+O(x^4)\).
In effetti vorrei imparare ad usare anche gli O-grandi, ma farò una cosa per volta 
Grazie ragazzi!
Grazie ragazzi!
Io non ho fatto niente, anzi ti chiedo scusa per averti probabilmente fatto confondere.
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