"operatori" in analisi matematica
Salve, leggendo qua e là in giro ho notato spesso che limiti, derivate ed integrali vengono spesso denominati come degli "operatori".
Qualcuno mi sa dire di più?
Grazie
Qualcuno mi sa dire di più?
Grazie
Risposte
"Operatore" è un sinonimo di "applicazione" usato soprattutto nell'accezione di "applicazione tra spazi di dimensione infinita". Spesso, parlando di "operatore", si sottintende che sia lineare, ma non sempre.
Visto che mi trovo nella (molto insolita) situazione di essere in grado di dare una risposta in questo forum, contribuisco dicendo -anche se probabilmente lo sai già- che limiti, derivate e integrali sono operatori lineari perché commutano rispetto alla somma e al prodotto per scalari, dato che un operatore lineare è per definizione tale che
$f(u+v)=f(u)+f(v)$ e $AA\lambda in RR,f(\lambdau)=\lambdaf(u)$
Ciao!
$f(u+v)=f(u)+f(v)$ e $AA\lambda in RR,f(\lambdau)=\lambdaf(u)$
Ciao!
Allora, faccio un esempio relativamente all'integrale doppio (visto che li sto studiando ora), ma che è identico relativamente ad un integrale di una sola variabile.
Consideriamo la somma di Cauchy-Riemann
$S_n=sum_(h,k = 1)^(n) |I_(hk)|f(barp_(hk))$, dove $|I_(hk)|$ è l'area del generico rettangolino che va a comporre il dominio rettangolare di $f$ e $f(barp_(hk))$ è il valore che la funzione presenta nel punto $barp_(hk) in |I_(hk)|$.
Questa somma è una funzione che $n->sum_(h,k = 1)^(n) |I_(hk)|f(barp_(hk))$, cioè che ad ogni numero naturale preso come "input" associa un certo numero reale, la somma giusto?
Quindi, siccome questa somma è una funzione, posso chiedermi quanto faccia il limite di tale somma per $n->+oo$.
Supponiamo ora che tale limite, che indico con $l$, esista finito.
Per definizione, tale limite $l$ si indica con $int int_(R)f(x,y)\dx\dxy$, cioè si scrive $l=intint_(R)f(x,y)\dx\dy$.
Ora, in che senso l'integrale definito è un operatore? Nel senso che dall'ultima equazione che ho scritto si deduce che essa definisce una funzione che, preso come "input" una funzione $f(x,y)$, restituisce come "output" il volume da essa sotteso (volume che è appunto il limite delle somme di Cauchy-Riemann)?
Grazie mille e buona domenica.
Consideriamo la somma di Cauchy-Riemann
$S_n=sum_(h,k = 1)^(n) |I_(hk)|f(barp_(hk))$, dove $|I_(hk)|$ è l'area del generico rettangolino che va a comporre il dominio rettangolare di $f$ e $f(barp_(hk))$ è il valore che la funzione presenta nel punto $barp_(hk) in |I_(hk)|$.
Questa somma è una funzione che $n->sum_(h,k = 1)^(n) |I_(hk)|f(barp_(hk))$, cioè che ad ogni numero naturale preso come "input" associa un certo numero reale, la somma giusto?
Quindi, siccome questa somma è una funzione, posso chiedermi quanto faccia il limite di tale somma per $n->+oo$.
Supponiamo ora che tale limite, che indico con $l$, esista finito.
Per definizione, tale limite $l$ si indica con $int int_(R)f(x,y)\dx\dxy$, cioè si scrive $l=intint_(R)f(x,y)\dx\dy$.
Ora, in che senso l'integrale definito è un operatore? Nel senso che dall'ultima equazione che ho scritto si deduce che essa definisce una funzione che, preso come "input" una funzione $f(x,y)$, restituisce come "output" il volume da essa sotteso (volume che è appunto il limite delle somme di Cauchy-Riemann)?
Grazie mille e buona domenica.
Si, esatto.
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