"Formula dell'area" con una superficie piana
Ciao a tutti, sto' cercando d risolvere questo esercizio:
Facendo uso della formula dell'area, calcolare l'area della seguente superficie:
$S = {(x,y) in R^2 : y >=x^2, x^2+y^2 <= 2}$
Ora, in teoria la formula dell'area è la seguente
$int_S d sigma = int int ||phi_u xx phi_v||du dv$
Dove $phi$ è una parametrizzazione della superficie.. il problema è che nn riesco a parametrizzare la superficie...
Facendo uso della formula dell'area, calcolare l'area della seguente superficie:
$S = {(x,y) in R^2 : y >=x^2, x^2+y^2 <= 2}$
Ora, in teoria la formula dell'area è la seguente
$int_S d sigma = int int ||phi_u xx phi_v||du dv$
Dove $phi$ è una parametrizzazione della superficie.. il problema è che nn riesco a parametrizzare la superficie...
Risposte
Non ti conviene usare quella strada. Essa funziona per superfici in \(\mathbb{R}^3\): vedi, c'è un prodotto vettore e come sai si tratta di una operazione propria di \(\mathbb{R}^3\) e di nessun altro spazio vettoriale. Hai a disposizione due formule: puoi usare la definizione nuda e cruda
\[\text{Area}=\iint_S 1\, dxdy,\]
oppure questa formula, conseguenza delle identità di Gauss-Green:
\[\text{Area}=\frac{1}{2}\int_{+\partial S}xdy-ydx\]
dove \(+\partial S\) è il bordo di \(S\), parametrizzato in senso antiorario.
\[\text{Area}=\iint_S 1\, dxdy,\]
oppure questa formula, conseguenza delle identità di Gauss-Green:
\[\text{Area}=\frac{1}{2}\int_{+\partial S}xdy-ydx\]
dove \(+\partial S\) è il bordo di \(S\), parametrizzato in senso antiorario.
Quindi, se non sbaglio, il bordo della superficie è dato dall'intersezione tra la circonferenza di raggio $sqrt(2)$ e la parabola con vertice in $(0,0)$
Boh, mi sono intoppato, un ulteriore aiutino? intanto continuo a cercare... grazie cmq
Boh, mi sono intoppato, un ulteriore aiutino? intanto continuo a cercare... grazie cmq
Niente... in questo esercizio proprio non so' come andare avanti.. spero tanto in una risposta che mi illumini.
A presto!
A presto!
Devi risolvere
[tex]\int \int_S dx\ dy[/tex]
prima devi definire S.
[tex]\int \int_S dx\ dy[/tex]
prima devi definire S.
Buongiorno a tutti. Ho ripreso l'esercizio in questione e, grazie all'aiuto di Gugo, volevo proporvi la soluzione... per vedere se è giusta.
Allora. La superficie è la seguente:
Uploaded with ImageShack.us
Allora l'area può essere calcolata utilizzando il teorema di Gauss-Green. Per fare questo ci serve una parametrizzazione del bordo della superficie.
Tale bordo è dato dall'unione dell'arco di circonferenza tra $A$ e $B$ con l'arco di parabola tra gli stessi due punti. Vediamo le parametrizzazioni del bordo:
1. Arco di parabola $epsilon_1$ (equazione $y=x^2$):
${ ( x(u) = u ),( y(u) = u^2 ):}$ con $u in [-1,1]$
2.Arco di circonferenza $epsilon_2$ (equazione $x^2+y^2=2$)
${ ( x(theta) = sqrt(2)cos(theta) ),( y(theta) = sqrt(2)sen(theta)):}$ con $theta in [pi/4,3pi/4]$
$theta in [pi/4,3pi/4]$ perché gli estremi dell'arco di circonferenza, sono tali che $cos(theta)=sen(theta)$ da un lato e $cos(theta)=-sen(theta)$ dall'altro
A questo punto calcoliamo le aree relative alle superfici con i bordi di cui sopra:
$A(epsilon_1) = 1/2int_(delta^+epsilon_1) (xdy - ydx) = 1/2int_(-1)^(1) (2u^2 -u^2)du = 1/3$
$A(epsilon_2) = 1/2int_(delta^+epsilon_2) (xdy - ydx) = 1/2int_(pi/4)^((3pi)/4) (2sen^2(theta) + 2cos^2(theta))du = pi/2$
L'area della nostra superficie è allora $A(S) = A(epsilon_2)-A(epsilon_1)$
Che dite?
"Uomosenzasonno":
Ciao a tutti, sto' cercando d risolvere questo esercizio:
Facendo uso della formula dell'area, calcolare l'area della seguente superficie:
$S = {(x,y) in R^2 : y >=x^2, x^2+y^2 <= 2}$
Ora, in teoria la formula dell'area è la seguente
$int_S d sigma = int int ||phi_u xx phi_v||du dv$
Dove $phi$ è una parametrizzazione della superficie.. il problema è che nn riesco a parametrizzare la superficie...
Allora. La superficie è la seguente:
Uploaded with ImageShack.us
Allora l'area può essere calcolata utilizzando il teorema di Gauss-Green. Per fare questo ci serve una parametrizzazione del bordo della superficie.
Tale bordo è dato dall'unione dell'arco di circonferenza tra $A$ e $B$ con l'arco di parabola tra gli stessi due punti. Vediamo le parametrizzazioni del bordo:
1. Arco di parabola $epsilon_1$ (equazione $y=x^2$):
${ ( x(u) = u ),( y(u) = u^2 ):}$ con $u in [-1,1]$
2.Arco di circonferenza $epsilon_2$ (equazione $x^2+y^2=2$)
${ ( x(theta) = sqrt(2)cos(theta) ),( y(theta) = sqrt(2)sen(theta)):}$ con $theta in [pi/4,3pi/4]$
$theta in [pi/4,3pi/4]$ perché gli estremi dell'arco di circonferenza, sono tali che $cos(theta)=sen(theta)$ da un lato e $cos(theta)=-sen(theta)$ dall'altro
A questo punto calcoliamo le aree relative alle superfici con i bordi di cui sopra:
$A(epsilon_1) = 1/2int_(delta^+epsilon_1) (xdy - ydx) = 1/2int_(-1)^(1) (2u^2 -u^2)du = 1/3$
$A(epsilon_2) = 1/2int_(delta^+epsilon_2) (xdy - ydx) = 1/2int_(pi/4)^((3pi)/4) (2sen^2(theta) + 2cos^2(theta))du = pi/2$
L'area della nostra superficie è allora $A(S) = A(epsilon_2)-A(epsilon_1)$
Che dite?
Mi sembra che l'area $S$ della regione in questione si possa anche calcolare semplicemente come somma dell'area del segmento circolare a una base $ABC$ ($S_text(segm. circ.)$) con quella del semento parabolico $AOB$ ($S_\text(segm. par.)$).
Inoltre
a) $S_\text(segm. circ.)$ si può calcolare come differenza tra l'area del settore circolare $AOB$ ($S_text(settore)$) che è $1/4$ dell'area del cerchio, perché $AhatOB=pi/2$, e quella del triangolo $AOB$ ($S_\text(triangolo)$);
b) $S_text(segm. par.)$ è $4/3$ (teorema di Archimede) dell'area del triangolo $AOB$.
Quindi
$S=S_\text(segm. circ.)+S_\text(segm. par.)=S_\text(settore)-S_\text(triangolo)+4/3*S_\text(triangolo)=S_\text(settore)+1/3*S_\text(triangolo)=$
$\ \ \ =1/4*pi*(sqrt(2))^2+1/3*2*1*1/2=pi/2+1/3$.
Si in effetti il tuo ragionamento è corretto. E' il mio che non mi convince. Infatti stando alla mia soluzione, il risultato sarebbe:
$A(S) = pi/2-1/3$
Alla luce di questo, mi sembra che mi manca qualche pezzo. Scusate, ma in teoria i due integrali che ho proposto io, non dovrebbero calcolare le due seguenti aree?
Dove l'area $A$ vale $1/3$, mentre la $B$ vale $pi/2$?
Se così fosse, allora la discrepanza del mio risultato con quello di chiaraotta, sarebbe dovuta al fatto che non ho considerato l'orientazione del bordo nel calcolo delle aree?
$A(S) = pi/2-1/3$
Alla luce di questo, mi sembra che mi manca qualche pezzo. Scusate, ma in teoria i due integrali che ho proposto io, non dovrebbero calcolare le due seguenti aree?
Dove l'area $A$ vale $1/3$, mentre la $B$ vale $pi/2$?
Se così fosse, allora la discrepanza del mio risultato con quello di chiaraotta, sarebbe dovuta al fatto che non ho considerato l'orientazione del bordo nel calcolo delle aree?
Secondo me $A=2/3, B=pi/2+1$ ....
"chiaraotta":
Secondo me $A=2/3, B=pi/2+1$ ....
Infatti è quello il problema. Anche a me viene come a te!
Allora io cosa ho calcolato con quei due integrali sopra? Non riesco a trovare l'errore. Il problema è che è richisto il teorema di gauss-green..
EDIT:
Forse ho capito. Il problema è che le superfici che ho parametrizzato sono corrette, ma io non sapevo che fossero quelle che in realtà sono. Mi spiego.
Con il seguente sistema
${ ( x(theta) = sqrt(2)cos(theta) ),( y(theta) = sqrt(2)sen(theta)):}$ con $theta in [pi/4,3pi/4]$
vado a parametrizzare proprio il settore circolare (e non la figura B del mio precedente post). Infatti quell'area mi viene $pi/2$ Proprio come l'area del settore calcolata da chiaraotta.
Con il sistema:
${ ( x(u) = u ),( y(u) = u^2 ):}$ con $u in [-1,1]$
Vado a parametrizzare la superifice seguente:
La cui area, infatti, viene uguale a $1/3$, sempre come a chiaraotta. Se infatti prendo il vettore $V = (u,u^2)$ con $ u in [0,1]$, questo, al variare di u, descrive il seguente percorso:
Da tutto questo discorso, sommando le aree, si ha lo stesso risultato di chiaraotto... e tutto torna... forse
E, se tutto è corretto (aspetto considerazioni da voi), come disse lo stitico, è stata dura, ma ce l'abbiamo fatta
Salve ragazzi,
ho un piccolo dilemma! Se volessi applicare la formula dell'area per il triangolo di vertici
$ D $ $:$ ${$ $(x,y) in R^2 :$ $(0,0) , (0,1) , (1,1)} $
sarebbe come dire
$ y(x) = x ,$ $ x in [0,1] $
Parametrizzando la curva nel seguente modo:
$ { ( y(t)=t ),( x(t)=t ):} $ $ tin [1,0] $
$ { ( y(t)=0 ),( x(t)=t ):} $ $ tin [0,1] $
$ { ( y(t)=t),( x(t)=0):} $ $ tin [0,1] $
Applicando la formula di Green in $ R^2 $:
$ 1/2int_(partial^+D ) x dy -ydx $
l'integrale risulta nullo.. Pare evidente che sbaglio qualcosa!
Attendo vostre notize!:D
Grazie a tutti per l'attenzione!
A presto!
ho un piccolo dilemma! Se volessi applicare la formula dell'area per il triangolo di vertici
$ D $ $:$ ${$ $(x,y) in R^2 :$ $(0,0) , (0,1) , (1,1)} $
sarebbe come dire
$ y(x) = x ,$ $ x in [0,1] $
Parametrizzando la curva nel seguente modo:
$ { ( y(t)=t ),( x(t)=t ):} $ $ tin [1,0] $
$ { ( y(t)=0 ),( x(t)=t ):} $ $ tin [0,1] $
$ { ( y(t)=t),( x(t)=0):} $ $ tin [0,1] $
Applicando la formula di Green in $ R^2 $:
$ 1/2int_(partial^+D ) x dy -ydx $
l'integrale risulta nullo.. Pare evidente che sbaglio qualcosa!
Attendo vostre notize!:D
Grazie a tutti per l'attenzione!
A presto!
"stefanopch":
Salve ragazzi,
presto studierò il modo di usare i tool di scrittura matematica!
Presto a volte non arriva mai
Guarda qui
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
poi dai un'occhiata qui
regole-generali-di-matematicamente-it-forum-t26457.html
e finchè ci sei non tirare su threads del 50 Avanti Cristo.
E infine benvenuto.
Ahahhaha hai ragione!:D
Però ho fatto tanti di quegli esercizi per poi scoprire che un semplice triangolo può mandare in crisi una persona... ho postato con urgenza!
Ho ripreso la discussione per far fede al regolamento del forum:
3.1 Prima di aprire un nuovo topic occorre controllare che lo stesso argomento non sia discusso.
L'argomento è esattamente quello a cui sono interessato!:D
Avrei dovuto aprirne uno nuovo?
Comunque mi aggiornerò presto!
Grazie della tua cordialità, mi sento già a "casa"
Però ho fatto tanti di quegli esercizi per poi scoprire che un semplice triangolo può mandare in crisi una persona... ho postato con urgenza!
Ho ripreso la discussione per far fede al regolamento del forum:
3.1 Prima di aprire un nuovo topic occorre controllare che lo stesso argomento non sia discusso.
L'argomento è esattamente quello a cui sono interessato!:D
Avrei dovuto aprirne uno nuovo?
Comunque mi aggiornerò presto!
Grazie della tua cordialità, mi sento già a "casa"
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