"erre" è Denso in sé

[pepp1995]

Mi spiegate cosa s'intende con l'espressione "erre è denso in sé" ?
Si fa riferimento al Campo dei reali?

[Bremen000]

Be' immagino di sì, ma è una banalità, ogni insieme è denso in se stesso.

Dato uno spazio topologico $(X,\tau)$ e presi $A,B \subset X$ con $A \subseteq B$ diciamo che $A$ è denso in $B$ se $B \subseteq \overline{A}$.

Prendi $(RR, \tau_{e})$, dove $\tau_{e}$ è la topologia euclidea (ma anche se non lo fosse non ci sarebbero problemi), allora $RR \subseteq \overline{RR}=RR$ e dunque $RR$ è denso in sè.

[Luca.Lussardi]

O più semplicemente il vuoto è sempre aperto per cui tutto lo spazio è sempre chiuso.

[pepp1995]

L'espressione è stata utilizzata per dire che poiché R è denso in sé allora possiamo prendere un intorno di un punto di "raggio" (se siamo nel piano) variabile.
Come si collegano le due proprietà?

[gugo82]

"Bremen000":Be' immagino di sì, ma è una banalità, ogni insieme è denso in se stesso.

[Segue spiegazione topologica, che ometto, n.d. gugo82]

La questione, considerando la nozione topologica di densità, è effettivamente banale... Tuttavia esistono altre nozioni di densità ed è ad una di queste che usualmente ci si riferisce dicendo che $QQ$ è denso in $RR$ o che $RR$ è denso in sé.

In particolare, la seguente è la nozione di densità relativa alle strutture ordinate:

Siano $X!= \emptyset$, $<=$ una relazione d'ordine in $X$ e $<$ la corrispondente relazione d'ordine stretto[nota]Che si definisce partendo da $<=$ come segue:
\[
x< y\quad \stackrel{\text{DEF}}{\Leftrightarrow}\quad x\leq y \text{ ed } x\neq y\; .
\][/nota].
Si dice che un sottoinsieme $Y\subseteq X$ è denso in $X$ (rispetto a $<=$) se e solo se:
\[
\forall x_1 \]

Insomma, l'insieme $Y$ è denso in $X$ rispetto all'ordine se tra coppie di punti distinti e confrontabili di $X$ si può sempre intercalare un punto di $Y$.

In quest'ottica, $RR$ è denso in sé è sempre banale (perché è cosa che discende immediatamente dagli Assiomi di Algebra ed Ordine), ma un po' meno ovvia.
Meno banale diventa, forse, stabilire che $QQ$ è denso in $RR$... Al momento non mi viene in mente una dimostrazione di questo fatto che non passi per il fatto di identificare $RR$ con la classe delle sezioni di Dedekind dei razionali.

[pepp1995]

Mi sà dire anche perché l'essere denso in sé di R dovrebbe giustificare l'idea per cui:
"se ne esiste uno di Intorno di un punto che soddisfa una certa condizione , in realtà ne esistono infiniti" ?

[gugo82]

Serve più contesto.