"condizione necessaria subadditività"

[Pennamon]

Salve ragazzi, non riesco a dimostrare il seguente risultato, potete aiutarmi?
Sia $ g:[0,+\infty]->\R $ derivabile due vole e tale che $g(0)=0, g'(x)>0, g''(x)<0$ allora $g(x+y) Ho provato a sfruttare il fatto che siccome g''<0 allora g' è decrescente e dunque g'(x) (Ossia $\lim_{y->0}(g(x+y)-g(x))/y=g'(x)0}(g(y)-g(0))/y \rArr g(x+y) Altrimenti ho provato anche quest'altra cosa: siccome $g'(x) Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità e pazienza

[Rigel1]

Ti propongo di cominciare da questa variante, che serve a rendere più chiaro quale sia il significato delle ipotesi.
Sia \(g\colon [0,+\infty)\to\mathbb{R}\) una funzione concava, tale che \(g(0) = 0\). Allora
\[
g(x+y) \leq g(x) + g(y)\qquad \forall x,y\geq 0.
\]
(Come vedi, non servono ipotesi di derivabilità. Una volta dimostrata questa, per ottenere nel tuo caso la disuguaglianza stretta quando \(x, y > 0\) dovrai usare l'ipotesi di stretta convessità che è implicita nelle ipotesi del tuo esercizio.)

Inizia ad osservare che, essendo \(g(0) = 0\), è sufficiente dimostrare la disuguaglianza quando \(x,y > 0\).
Ora pensa \(x\) come combinazione convessa di \(0\) e \(x+y\):
\[
x = (1-\lambda) \cdot 0 + \lambda \cdot (x+y), \qquad \text{con}\ \lambda := \frac{x}{x+y} \in (0,1).
\]
Usa la concavità di \(g\):
\[
g(x) \geq (1-\lambda) g(0) + \lambda\, g(x+y) = \frac{x}{x+y} \, g(x+y).
\]
Ora procedi in maniera analoga usando \(y\) al posto di \(x\) e somma le due disuguaglianze ottenute.

[Pennamon]

Alla faccia del "ti propongo di cominciare"! praticamente hai scritto tutto, resta solo da sommare le due disuguaglianze..
Comunque mi ero impuntato sul dimostrare direttamente la subadditività senza pensare al fatto che una delle prime cose che si dimostra per le derivate seconde è g"<0 allora g strettamente concava .
Grazie mille per il grandissimo aiuto che mi hai dato, sei stato davvero gentilissimo.