"code" dell'integrale

[LARA881]

e` vero che l'integrale di una funzione integrabile all'infinito tende a zero?
c'e` un teorema che dice che le "code" di un integrale (di funzione integrabile) all'infinito vanno a zero?

[Hadronen]

Stai praticamente dicendo che un integrale di una qualsiasi funzione integrabile su $RR$, vale $0$ all'$oo$ ? No... Non trovo neanche il nesso...

Forse intendi che il limite per $x\tooo$ della funzione integranda dev'essere $0$ affinché l'integrale esista ( nel caso di integrazione su tutto il dominio ) ... E allora certo: è la condizione NECESSARIA alla convergenza.

[_prime_number]

Falso. La funzione di Dirichlet è integrabile su $\mathbb{R}$ ma non ha limite per $x\to \infty$.

Paola

[Brancaleone1]

Forse dico una castroneria, ma per la convergenza all'infinito non basta che l'integranda converga a $0$, ma deve farlo per ordine $\ge 1$ (o a $\pm \infty$ con ordine $<1$), no?

[Hadronen]

"prime_number":Falso. La funzione di Dirichlet è integrabile su $\mathbb{R}$ ma non ha limite per $x\to \infty$.

Paola

Credo che intenda integrale di Riemann...

[LARA881]

no no... mi spiego meglio...
il problema e` questo: sto studiando la teoria di lebesgue e a un certo punto ho un esempio che dice che l'integrale di una funzione f (integrabile) su una palla di raggio ro e centrata in x, tende a zero quando il modulo di x va a infinito.
e quindi pensavo che intuitivamente tornava con il discorso delle code che all'infinito vanno a zero, altrimenti f non sarebbe integrabile...
mi sono spiegata???

[Paolo902]

@ Hadronen:

"Hadronen": Forse intendi che il limite per $x\tooo$ della funzione integranda dev'essere $0$ affinché l'integrale esista ( nel caso di integrazione su tutto il dominio ) ... E allora certo: è la condizione NECESSARIA alla convergenza.

"Hadronen":[quote="prime_number"]Falso. La funzione di Dirichlet è integrabile su $\mathbb{R}$ ma non ha limite per $x\to \infty$.

Paola

Credo che intenda integrale di Riemann...[/quote]

La condizione non è necessaria nemmeno per l'integrale di Riemann (basta prendere gli integrali di Fresnel: $int_0^\infty cos(x^2)dx$ esiste finito, ma non esiste il limite dell'integranda).

@ Brancaleone:

"Brancaleone":Forse dico una castroneria, ma per la convergenza all'infinito non basta che l'integranda converga a $0$, ma deve farlo per ordine $\ge 1$ (o a $\pm \infty$ con ordine $<1$), no?

Attenzione a non confondere CS e CN.

[Hadronen]

"Paolo90":@ Hadronen:

[quote="Hadronen"] Forse intendi che il limite per $x\tooo$ della funzione integranda dev'essere $0$ affinché l'integrale esista ( nel caso di integrazione su tutto il dominio ) ... E allora certo: è la condizione NECESSARIA alla convergenza.

"Hadronen":[quote="prime_number"]Falso. La funzione di Dirichlet è integrabile su $\mathbb{R}$ ma non ha limite per $x\to \infty$.

Paola

Credo che intenda integrale di Riemann...[/quote]

La condizione non è necessaria nemmeno per l'integrale di Riemann (basta prendere gli integrali di Fresnel: $int_0^\infty cos(x^2)dx$ esiste finito, ma non esiste il limite dell'integranda).

[/quote]

Giusto. Mi scuso per la frettolosa risposta.

[Paolo902]

Tranquillo, nessun problema.
Era solo per puntualizzare ed evitare così che qualche utente fosse tratto in inganno.

[gugo82]

"LARA88":no no... mi spiego meglio...
il problema e` questo: sto studiando la teoria di lebesgue e a un certo punto ho un esempio che dice che l'integrale di una funzione f (integrabile) su una palla di raggio ro e centrata in x, tende a zero quando il modulo di x va a infinito.
e quindi pensavo che intuitivamente tornava con il discorso delle code che all'infinito vanno a zero, altrimenti f non sarebbe integrabile...
mi sono spiegata???

In generale, se \(f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) è Lebesgue integrabile, cioè è \(L^1(\mathbb{R}^N)\), essa è solamente tenuta a rispettare la condizione:
\[
\liminf_{|x|\to \infty} |f(x)| =0
\]
ma in generale il \(\displaystyle \limsup_{|x|\to \infty} |f(x)|\) può fare ciò che vuole (i.e., può essere finito o anche infinito).

Ciò si può vedere già per \(N=1\): infatti, scegliendo opportunamente due successioni \((b_n),\ (h_n)\) positive, una funzione \(f(x)\) il cui sottografico è formato da triangoli isosceli \(T_n\) non sovrapposti di base \(b_n\) ed altezza \((h_n)\) è integrabile ed ha integrale:
\[
\int_{-\infty}^\infty |f(x)|\ \text{d} x = \sum_{n=0}^\infty \operatorname{area}(T_n) = \frac{1}{2}\ \sum_{n=0}^\infty b_n\ h_n
\]
purché la serie all'ultimo membro sia convergente. Ma la convergenza di tale serie si può assicurare in moltissimi modi: ad esempio, si può scegliere:
\[
b_n= \frac{1}{n} =h_n
\]
ottenendo una funzione che è regolare all'infinito ed è infinitesima; oppure si può prendere:
\[
b_n= \frac{1}{n^2},\ h_n=1
\]
ottenendo una funzione che non regolare all'infinito ma limitata; o si può prendere:
\[
b_n= \frac{1}{n^3},\ h_n=n
\]
ottenendo una funzione che non regolare all'infinito e non limitata superiormente (diverente polinomialmente); ovvero:
\[
b_n= \frac{1}{e^{n^2}},\ h_n=n!
\]
ottenendo una funzione che non regolare all'infinito e non limitate superiormente (divergente più che esponenzialmente).

Discorso diverso per la funzione integrale di una funzione \(f\in L^1(\mathbb{R}^N)\), i.e.:
\[
\mathcal{L}^N \ni E\mapsto \intop_E |f(x)|\ \text{d} x\in \mathbb{R}
\]
(qui e nel seguito \(\mathcal{L}^N\) denota la classe dei misurabili secondo Lebesgue in \(\mathbb{R}^N\)), per la quale effettivamente risulta:
\[
\forall B\in \mathcal{L}^N \text{ limitato},\ \lim_{|\xi |\to \infty} \intop_{\xi +B} |f(x)|\ \text{d} x =0
\]
ove \(\xi +B:=\{ \xi +x,\ x\in B\}\).

Infatti, questo è vero per le funzioni semplici integrabili, perchè esse sono necessariamente nulle fuori da un limitato \(A\) e, per \(|\xi|\) sufficientemente grande, si ha \(A\cap (\xi +B)=\varnothing\) dunque l'integrale su \(\xi +B\) è nullo.

D'altra parte, se \(f\in L^1(\mathbb{R}^N)\), la tesi segue ragionando per assurdo. Invero, supponiamo che la relazione di limite non sia vera, cioè che:
\[
\exists \bar{B}\in \mathcal{L}^N \text{ limitato ed } \exists \bar{\varepsilon} >0:\ \forall R>0,\ \exists \xi_R \text{ con } |\xi_R|\geq R:\ \intop_{\xi_R +\bar{B}} |f| \geq \bar{\varepsilon} \; .
\]
Allora, in corrispondenza di \(R=1\) è possibile determinare \(\xi_1\) con \(|\xi_1|\geq 1\) tale che \(\intop_{\xi_1 +\bar{B}} |f| \geq \bar{\varepsilon}\); in corrispondenza di \(R=|\xi_1|+\operatorname{diam} (\bar{B})\) è possibile determinare \(\xi_2\) in modo che \(|\xi_2|\geq |\xi_1|+\operatorname{diam}(\bar{B})+1\) e \(\intop_{\xi_2 +\bar{B}} |f| \geq \bar{\varepsilon}\), inoltre è evidente che \((\xi_1+\bar{B})\cap (\xi_2\cap \bar{B}) = \varnothing\) (perchè altrimenti esisterebbero \(x,y\in \bar{B}\) tali che \(\xi_1+x=\xi_2+y\), quindi \(|\xi_2| -|\xi_1|\leq \big| |\xi_2|-|\xi_1|\big|\leq |\xi_2-\xi_1|=|y-x|\leq \operatorname{diam}(\bar{B})\), il che è assurdo); in corrispondenza di \(R=|\xi_2|+\operatorname{diam}(\bar{B})+1\) è possibile determinare \(\xi_3\) in modo che \(|\xi_3|\geq |\xi_2|+\operatorname{diam}(\bar{B})+1\) e \(\intop_{\xi_3 +\bar{B}} |f| \geq \bar{\varepsilon}\) inoltre \((\xi_3+ \bar{B})\cap (\xi_2+\bar{B})\cap (\xi_1+\bar{B})=\varnothing\)...

Procedendo per ricorrenza si determina una successione \(\xi_n\) tale che:

[list=1]
[*:22l6wbvv] per ogni \(n\), \(|\xi_{n+1}|\geq |\xi_n|+\operatorname{diam}(\bar{B}) +1\), sicché in particolare \(|\xi_n|\to \infty\);

[/*:m:22l6wbvv]
[*:22l6wbvv] per ogni \(n\), \(\bigcap_{k=1}^n (\xi_k+\bar{B}) =\varnothing\);

[/*:m:22l6wbvv]
[*:22l6wbvv] per ogni \(n\), \(\intop_{\xi_n +\bar{B}} |f| \geq \bar{\varepsilon}\).[/*:m:22l6wbvv][/list:o:22l6wbvv]
Ma allora, per la numerabile additività della funzione d'insieme \(\int_E |f|\) (che è una misura positiva, come sai dalla teoria), si dovrebbe avere:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} |f|\geq \sum_{n=1}^\infty \intop_{\xi_n +\bar{B}} |f| \geq \lim_{n\to \infty} n\ \bar{\varepsilon} =+\infty
\]
contro il fatto che \(f\in L^1(\mathbb{R}^N)\) e ciò è assurdo.

[LARA881]

...ma quindi?

[gugo82]

Leggi il mio post, nella pagina precedente.

[LARA881]

Grazie! non l'avevo vista, forse abbiamo risposto contemporaneamente!!
grazie mille!!!

[LARA881]

scusate ancora, ma ci penso da oggi pomeriggio e non riesco a venirne fuori..... posso usare quanto detto sopra per dimostrare che:

un funzione f è integrabile se e solo se è localmente integrabile (ok!) e esiste una successione R_n tendente a infinito tale che l'integrale di f su R_n<|x|

Cita

Segnala

[gugo82]

Credo sia falso.

Prova a prendere:
\[
f(x):=\frac{1}{1+[|x|]}\; ,
\]
ove \([\cdot]\) denota la parte intera, ed \(R_n:=n\).
La \(f\) ha un grafico del genere:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=0;ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,1],[1,1]); line([1,0.5],[2,0.5]); line([2,0.33],[3,0.33]); line([3,0.25],[4,0.25]); line([4,0.2],[5,0.2]);
line([-1,0.5],[-2,0.5]); line([-2,0.33],[-3,0.33]); line([-3,0.25],[-4,0.25]); line([-4,0.2],[-5,0.2]);[/asvg]
è positiva e localmente integrabile (i.e., integrabile su ogni compatto) e si ha:
\[
\int_{n<|x| \]
tuttavia \(f\notin L^1(\mathbb{R})\) perchè:
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x)\ \text{d} x = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} = +\infty\; .
\]

[LARA881]

umh.....non sono molto convinta, anche perché quello che ho scritto al post precedente dovrebbe essere vero...

[gugo82]

Da dove è preso l'esercizio?
Forse è imposta qualche stima sulla crescita di \(\int_{R_n<|x| O forse non è "esiste una successione \(R_n\)", ma "per ogni successione \(R_n\)"?

[LARA881]

no no, il testo dell'esercizio è così come te l'ho messo...

[gugo82]

Beh, allora abbiamo un controesempio.

D'altra parte, il controesempio continua a funzionare in \(\mathbb{R}^N\) con le dovute accortezze.
Infatti, basta prendere:
\[
f(x):= \frac{1}{(1+[|x|])^N}
\]
ed \(R_n:=n\), di modo che:
\[
\int_{n<|x| \]
e dunque:
\[
\int_{n<|x| \]
ma tuttavia risulta:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} |f| \geq \sum_{k=0}^n \int_{k<|x| \]

P.S.: Da dov'è preso l'esercizio?

[LARA881]

è nel materiale che ci ha dato la professoressa. sicuramente l'ha preso da qualche parte ma non so dove di preciso... se vuoi ti posso mandare il foglio con il testo...

[gugo82]

Probabilmente la condizione è solo necessaria, ma non sufficiente.

Che \(f\in L^1 (\mathbb{R}^N)\) implichi \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) e l'esistenza di \((R_n)\) positiva, crescente, divergente e tale che \(\lim_n \int_{R_n<|x|

Infatti si ha \(L^1 (\mathbb{R}^N)\subseteq L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\), quindi la prima condizione è certamente soddisfatta.

Per quanto riguarda la seconda, supponiamo per assurdo che essa non sia vera, cioè che per ogni successione \((r_n)\) positiva, strettamente crescente e divergente si abbia \(\limsup_n \int_{R_n<|x| 0\).
Detto \(L\) il limite superiore della successione d'integrali, in corrispondenza di \(\varepsilon := L/2\) esisterebbero infiniti indici \(n_k\) tali che:
\[
\int_{r_{n_k}<|x| L - \varepsilon = \frac{1}{2}\ L>0\; ;
\]
ma ciò è assurdo, poichè infatti implicherebbe:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} |f| = \sum_{n=0}^\infty \int_{r_n <|x| \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2}\ L =+\infty
\]
contro il fatto che \(f\in L^1(\mathbb{R}^N)\).

Secondo me l'enunciato corretto potrebbe essere questo:

Sia \(f:\mathbb{R}^N\to \hat{\mathbb{R}}\) una funzione misurabile.

Risulta \(f\in L^1(\mathbb{R}^N)\) se e solo se \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N) \) e:
\[
\lim_n \intop_{R_n <|x| \]
per ogni successione \((R_n)\) positiva, strettamente crescente e divergente.

ma forse nemmeno questo è del tutto vero (cioè, come sopra, l'implicazione \(\Leftarrow\) mi sembra che non valga sempre)... Ci devo pensare.