Quiz teorico applicativo integrale doppio (Analisi II)

[enea.peretti]

Ragazzi ho un problema con questo quiz:



La risposta esatta è la D
Io ho studiato i due insiemi e ho trovato che omega\D è costituito dalla parte superiore del quadrato (due triangoli), mentre K è costituito da un solo triangolo. Ragionando su i due insiemi come aree posso dire che la prima area è il doppio della seconda, e di conseguenza avrei detto che il primo integrale è 2 volte il secondo. Non so come intepretare il dato f(x,-y)=f(-x,y)=-f(x,y), se tanto i due integrali dell'equazione usano la stessaf non dovrei studiare solo il rapporto dei due insiemi come aree?
Non ho uno svolgimento fatto, ma solo la risposta al quiz quindi non saprei a chi chiedere.
Grazie

[RenzoDF]

"Enea92":... ho trovato che omega\D è costituito dalla parte superiore del quadrato (due triangoli), mentre K è costituito da un solo triangolo.

Si, K è il quarto del quadrato che appartiene al primo quadrante del piano xy, così come D è il quarto del secondo quadrante, ma di conseguenza Ω\D rappresenta i restanti tre quarti del quadrato.

"Enea92":... Non so come intepretare il dato f(x,-y)=f(-x,y)=-f(x,y), se tanto i due integrali dell'equazione usano la stessaf non dovrei studiare solo il rapporto dei due insiemi come aree?

Senza interpretare quelle relazioni non puoi rispondere alla domanda del problema; la catena di uguaglianze rappresenta una "disparità" sia rispetto all'asse x sia rispetto all'asse y.
Sfruttando queste simmetrie potremo dire che i due integrali si uguagliano a causa della compensazione dell'integrale, che risulta di segno opposto su due quarti del dominio Ω\D.

[enea.peretti]

"RenzoDF":[quote="Enea92"]... ho trovato che omega\D è costituito dalla parte superiore del quadrato (due triangoli), mentre K è costituito da un solo triangolo.

Si, K è il quarto del quadrato che appartiene al primo quadrante del piano xy, così come D è il quarto del secondo quadrante, ma di conseguenza Ω\D rappresenta i restanti tre quarti del quadrato.

"Enea92":... Non so come intepretare il dato f(x,-y)=f(-x,y)=-f(x,y), se tanto i due integrali dell'equazione usano la stessaf non dovrei studiare solo il rapporto dei due insiemi come aree?

Senza interpretare quelle relazioni non puoi rispondere alla domanda del problema; la catena di uguaglianze rappresenta una "disparità" sia rispetto all'asse x sia rispetto all'asse y.
Sfruttando queste simmetrie potremo dire che i due integrali si uguagliano a causa della compensazione dell'integrale, che risulta di segno opposto su due quarti del dominio Ω\D.[/quote]


Non ho capito cioè ho capito le simmetrie
se f(x,y)=-f(x,-y) simmetrico asse x
se f(x,y)=-f(-x,y) simmetrico asse y

ma non ho capito come ricavare la relazione tra i due integrali. avevo pensato a f(x,y)= (dominio simm assex)-(dominio simm asse y) e per questo es funziona, ma per il quiz successivo molto simile questo meccanismo mi porta a una risposta sbagliata

[RenzoDF]

La simmetria rispetto all'asse y porta alla compensazione, ovvero a valori opposti, per l'integrale nei due quarti del quadrato del dominio Ω\D relativi a y<0, riducendo l'integrale sui 3 triangoli di Ω\D al solo triangolo del primo quadrante, che coincide con K.

BTW Non serve a nulla quotare tutto un precedente post.

[vict85]

Siccome \(\displaystyle K\cap D = \bigl\{(0,0)\bigr\} \) ed entrambi sono sottoinsiemi di \(\displaystyle \Omega \) allora è evidente che \(\displaystyle \Omega\smallsetminus D\supset K \). Ovvero \(\displaystyle \int_{\Omega\smallsetminus D} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{K} f(x,y)\,dx\,dy + \int_{\Omega\smallsetminus (D\cup K)} f(x,y)\,dx\,dy \). Quello che devi vedere è quindi che \(\displaystyle \int_{\Omega\smallsetminus (D\cup K)} f(x,y)\,dx\,dy = 0 \). È a questo che servono le condizioni di simmetria rispetto agli assi.