Quiz sviluppi e derivate

[Obidream]

Sia $f(x)=1-1/2x+1/3x^2-1/4x^3+o(x^3)$ lo sviluppi di Mclaurin di $f$ arrestato all'ordine 3; allora $d^2e^(1-f(x))/dx^2$ in $x=0$ vale

a) $1/3$

b) $-1/3$

c) $ -2/3$

d) $-5/12$

Per chiarezza nei confronti di chi vorrà leggere pongo $g(x)=e^(1-f(x))$ e dico che $f(x)\sim 1-1/2x+1/3x^2-1/4x^3$ e pongo $h(x)=1-1/2x+1/3x^2-1/4x^3$

$h '(x)=-1/2+2/3x-3/4x^2$

$h ''(x)=2/3-3/2x$

$g '(x)=e^(1-h(x))* D(1-h(x))$

$g '(x)=e^(1-(1-1/2x+1/3x^2-1/4x^3))*(1/2-2/3x+3/4x^2)$

$g ''(x)=e^(1-h(x))*D(1-h(x))^2+e^(1-h(x))*D(-h '(x))$

$ g ''(x)=e^(1-(1-1/2x+1/3x^2-1/4x^3))*(1/2-2/3x+3/4x^2)^2+e^(1-(1-1/2x+1/3x^2-1/4x^3))*(-2/3+3/2x)$

$g ''(0)=1*(1/4)+1*(-2/3)$

$g ''(0)=1/4-2/3=-5/12$

Quindi la risposta corretta è la d)

Dopo aver mostrato l'utilizzo di questo " raffinatissimo, pratico ed elegante" metodo ( sperando che sia corretto), esiste una soluzione più efficiente?

[Sk_Anonymous]

$[[e^(1-f(x))]'=-f'(x)e^(1-f(x))] ^^ [[e^(1-f(x))]''=[-f''(x)+[f'(x)]^2]e^(1-f(x))]$

$[f(0)=1] ^^ [f'(0)=-1/2] ^^ [f''(0)=2/3]$

[Quinzio]

Ok, comunque hai che
$e^{f(x)} = 1+f(x)+(f(x)^2)/2$
e qui ti fermi perchè poi verrebbero fuori termini con potenza maggiore di grado 2, che derivati due volte nello zero danno zero.
Hai $f(x)=1/2x-1/3x^2+1/4x^3$
Nello sviluppare $f(x)^2$ tieni solo i termini di secondo grado.
Poi calcoli il coefficiente complessivo dei termini al secondo grado.
Cioè da $f(x)$ rimane $-1/3 x^2$
Da $(f(x)^2)/(2)$ rimane $1/8 x^2$
Sommati $-5/24 x^2$
Derivato due volte rimane $-5/12$

[Obidream]

Grazie ad entrambi