Questo procedimento è corretto?
Testo esercizio:
Sia f: $\mathbb{R}$ $\to$ $\mathbb{R}$ continua, dimostrare che :
$\lim_{x \to \+infty}f(x) = a$ $in$ $\mathbb{R}$ $=>$ $\lim_{x \to \+infty} \int_{x}^{x+1} f(t) dt = a$
Mio Svolgimento:
$\lim_{x \to \+infty}f(x) = a$ $in$ $\mathbb{R}$ $=>$ $AA$ $\epsilon$ > 0 $EE$ $M_\epsilon$ >0 t.c. x > M risulta $|f(x) - a| < \epsilon$
$|f(x) - a| < \epsilon$ $=>$ $\int_{x}^{x+1}|f(t) - a| dt < \int_{x}^{x+1} \epsilon dt$ (Questo è il passaggio dove ho il dubbio ci possa essere un errore)
$\int_{x}^{x+1} \epsilon dt = \epsilon (x+1) - \epsilon x = \epsilon $
Quindi:
$\int_{x}^{x+1}|f(t) - a| dt < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}(f(t) - a) dt| < \int_{x}^{x+1}|f(t) - a| dt < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}(f(t) - a) dt| < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}f(t) dt - \int_{x}^{x+1}a dt| < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}f(t) dt - a| < \epsilon$
Ma questo per definizione è proprio $\lim_{x \to \+infty} \int_{x}^{x+1} f(t) dt = a$
c.v.d.
Sia f: $\mathbb{R}$ $\to$ $\mathbb{R}$ continua, dimostrare che :
$\lim_{x \to \+infty}f(x) = a$ $in$ $\mathbb{R}$ $=>$ $\lim_{x \to \+infty} \int_{x}^{x+1} f(t) dt = a$
Mio Svolgimento:
$\lim_{x \to \+infty}f(x) = a$ $in$ $\mathbb{R}$ $=>$ $AA$ $\epsilon$ > 0 $EE$ $M_\epsilon$ >0 t.c. x > M risulta $|f(x) - a| < \epsilon$
$|f(x) - a| < \epsilon$ $=>$ $\int_{x}^{x+1}|f(t) - a| dt < \int_{x}^{x+1} \epsilon dt$ (Questo è il passaggio dove ho il dubbio ci possa essere un errore)
$\int_{x}^{x+1} \epsilon dt = \epsilon (x+1) - \epsilon x = \epsilon $
Quindi:
$\int_{x}^{x+1}|f(t) - a| dt < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}(f(t) - a) dt| < \int_{x}^{x+1}|f(t) - a| dt < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}(f(t) - a) dt| < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}f(t) dt - \int_{x}^{x+1}a dt| < \epsilon$
$|\int_{x}^{x+1}f(t) dt - a| < \epsilon$
Ma questo per definizione è proprio $\lim_{x \to \+infty} \int_{x}^{x+1} f(t) dt = a$
c.v.d.
Risposte
È sostanzialmente giusta, va giusto un po' ordinata quando introduci la variabile di integrazione e un minore/uguale quando usi la disuguaglianza che coinvolge integrale del modulo e modulo dell'integrale; il passaggio di cui sei dubbioso è giustificato dalla monotonia dell'integrale.
In sostanza, personalmente avrei fatto così: sia \(\varepsilon>0\) arbitrario. Per l'ipotesi \(f(x) \to a\) per \(x \to +\infty\), perciò esiste \(M_\varepsilon>0\) tale che:\[
[x>M_\varepsilon] \implies [\forall t \in [x,x+1], |f(t)-a|<\varepsilon ] \implies \left[\int_x^{x+1}|f(t)-a|\text{d}t<\varepsilon \right]
\]\[
\implies \left[\left|\int_x^{x+1}f(t)\text{d}t-a\right|<\varepsilon \right]
\]
Così si vede bene che l'antecedente dell'implicazione è \(x>M_\varepsilon\) e quindi si vede bene che la definizione di limite \(a\) per \(x \to +\infty\) è soddisfatta anche per \(\int_x^{x+1}f(t)\text{d}t\).
Domanda bonus: c'è l'ipotesi di continuità di \(f\) in \(\mathbb{R}\), ma nel tuo procedimento non viene usata. A che serve, quindi?
In sostanza, personalmente avrei fatto così: sia \(\varepsilon>0\) arbitrario. Per l'ipotesi \(f(x) \to a\) per \(x \to +\infty\), perciò esiste \(M_\varepsilon>0\) tale che:\[
[x>M_\varepsilon] \implies [\forall t \in [x,x+1], |f(t)-a|<\varepsilon ] \implies \left[\int_x^{x+1}|f(t)-a|\text{d}t<\varepsilon \right]
\]\[
\implies \left[\left|\int_x^{x+1}f(t)\text{d}t-a\right|<\varepsilon \right]
\]
Così si vede bene che l'antecedente dell'implicazione è \(x>M_\varepsilon\) e quindi si vede bene che la definizione di limite \(a\) per \(x \to +\infty\) è soddisfatta anche per \(\int_x^{x+1}f(t)\text{d}t\).
Domanda bonus: c'è l'ipotesi di continuità di \(f\) in \(\mathbb{R}\), ma nel tuo procedimento non viene usata. A che serve, quindi?
Grazie mille.
Per la domanda bonus penso che l'ipotesi di continuità è stata inserita per garantire l'integrabilità di f.
Per la domanda bonus penso che l'ipotesi di continuità è stata inserita per garantire l'integrabilità di f.
Prego! Sì, esatto, nel compatto \([x,x+1]\); ma non solo, anche di \(f(t)-a\) e \(|f(t)-a|\).
Non ci avevo pensato, effettivamente anche $|f(t) - a|$ deve essere integrabile
Dipende un po' da come effettui la dimostrazione: per come la hai scritta tu, servono (anche se seguono direttamente dalle ipotesi, quindi vanno osservate e non aggiunte nelle ipotesi; inoltre, sono risultati fondamentali che si vedono in qualsiasi corso di analisi).
Altrimenti, puoi evitare la disuguaglianza triangolare e usare che:\[
[|f(t)-a|<\varepsilon] \iff [a-\varepsilon < f(t)
Altrimenti, puoi evitare la disuguaglianza triangolare e usare che:\[
[|f(t)-a|<\varepsilon] \iff [a-\varepsilon < f(t)
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