Questo limite è stato svolto correttamente ?

[drino1]

Sia dato l'infinitesimo per x tendente a 0

$f(x)=(log(1+2x^3)-e^{<2x^3>}+1)/(1-cos(3x)-sin(9/2x^2))$

discutere al variare di a > 0 $lim_( -> <0+>) f(x)/x^a$
applico Taylor

$log(1+2x^3)=2x^3$
$e^{<2x^3>}=2x^3 + 1$
$cos(3x)=1-9/2x^2+27/8x^4$
$sin(9/2x^2))=9/2x^2$

$lim_( -> <0+>)0/(-27/8x^(4+a))=0$

è giusto?

dopo devo calcolare l'ordine di infinitesimo di $f(x) + x^3/(x^2+1)$ ma non credo di essere capace

mi potete aiutare?

grazie

[Seneca1]

"drino":Sia dato l'infinitesimo per x tendente a 0

$f(x)=(log(1+2x^3)-e^{<2x^3>}+1)/(1-cos(3x)-sin(9/2x^2))$

discutere al variare di a > 0 $lim_( -> <0+>) f(x)/x^a$
applico Taylor

$log(1+2x^3)=2x^3$
$e^{<2x^3>}=2x^3 + 1$
$cos(3x)=1-9/2x^2+27/8x^4$
$sin(9/2x^2))=9/2x^2$

$lim_( -> <0+>)0/(-27/8x^(4+a))=0$

è giusto?

dopo devo calcolare l'ordine di infinitesimo di $f(x) + x^3/(x^2+1)$ ma non credo di essere capace

mi potete aiutare?

grazie

E' sbagliato... A numeratore ti accorgi che i "termini utili" spariscono. Infatti:

$2x^3 - 2x^3 - 1 + 1 = 0$

Ci vuole il resto, direi. Quindi:

$log(1+2x^3)=2x^3 + o(x^3)$

$e^{<2x^3>}=2x^3 + 1 + o(x^3)$

Quindi il numeratore è un $o(x^3)$.

Poi:

$1 - cos(3x) = 9/2x^2 + o(x^3)$

$sin(9/2x^2))=9/2x^2 + o(x^3)$

E hai ancora che sparisce tutto fuorché l'o-piccolo. Questo è un segnale che devi espandere maggiormente gli sviluppi di Taylor.