Questo è il periodo degli integrali ed io posto il mio.
ragazzi qualcuno mi sa dare uno svolgimento adeguatamente commentato dell'integrale:
$int(x/(x^2+2x+2))$
io ho provato a risolverlo per parti ma si va ad incasinare anzichè ricondursi a integrali semplici...
Grazie mille in anticipo
$int(x/(x^2+2x+2))$
io ho provato a risolverlo per parti ma si va ad incasinare anzichè ricondursi a integrali semplici...
Grazie mille in anticipo
Risposte
L’integrale si risolve in modo non complicato osservando che è…
$x^2+2x+2=1+(1+x)^2$ (1)
Pertanto possiamo scrivere…
$int x/(x^2+2*x+2)*dx = int (1+x)/(1+(1+x)^2)*dx- int 1/(1+(1+x)^2)*dx$ (2)
Sia il primo sia il secondo integrale si risolvono agevolmente con la sostituzione $1+x=t$. A questo punto il gioco è fatto…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$x^2+2x+2=1+(1+x)^2$ (1)
Pertanto possiamo scrivere…
$int x/(x^2+2*x+2)*dx = int (1+x)/(1+(1+x)^2)*dx- int 1/(1+(1+x)^2)*dx$ (2)
Sia il primo sia il secondo integrale si risolvono agevolmente con la sostituzione $1+x=t$. A questo punto il gioco è fatto…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
In generale l'integrale $int(1/(x^2 + bx +c)) = 2/(sqrt(- \Delta)) arctan((2x+b)/sqrt(- \Delta))$ dove $\Delta = b^2 -4ac <=0$.
Questa formula può esserti utile. Dividevi in questo caso l'integrale in 2 parti aggiungengo e togliendo 1 al numeratore. Dopo di che da una parte veniva un integrale la cui primitiva era un logaritmo e dall'altra parte usavi questa formula.
Il metodo di lupogrigio in questo caso è + conveniente.
Paola
Questa formula può esserti utile. Dividevi in questo caso l'integrale in 2 parti aggiungengo e togliendo 1 al numeratore. Dopo di che da una parte veniva un integrale la cui primitiva era un logaritmo e dall'altra parte usavi questa formula.
Il metodo di lupogrigio in questo caso è + conveniente.
Paola
ok, tutto è chiaro, la soluzione del libro è identica ma io nella mia ignoranza porrò la domanda in modo ancora più stupido;
come capisco che $x^2+2x+2$ si può scomporre in quel modo?(anche se ora il topic andrebbe spostato nella sezione medie...)
Paola: si stavo risolvendo ora in questo secondo modo da te elencato, il tuo post mi conforta
come capisco che $x^2+2x+2$ si può scomporre in quel modo?(anche se ora il topic andrebbe spostato nella sezione medie...)
Paola: si stavo risolvendo ora in questo secondo modo da te elencato, il tuo post mi conforta
Il denominatore non è fattorizzabile nel campo reale ; Conviene fare in modo che al numeratore ci sia la derivata del denominatore cioè $ 2x+2 $ ; allora modifico così la funzione integranda $ (1/2)int((2x+2-2)*dx)/(x^2+2x+2) = (1/2)int((2x+2)*dx)/(x^2+2x+2)-int dx/(x^2+2x+2)=(1/2)ln(x^2+2x+2)-int dx/(x^2+2x+2) $.
Per risolvere l'ultimo integrale conviene usare il metodo del completamento del quadrato cioè riscrivere $x^2+2x+2 $ come somma di due quadrati $ x^2+2x+2 = 1+(x+1)^2 $ e quindi :
$intdx/(x^2+2x+2) = intdx/[1+(x+1)^2] = arctg(1+x) +k $.
In conclusione le primitive sono : $ (1/2)ln(x^2+2x+2) -arctg(x+1)+k $ .
P.S.
Se hai un trinomio di secondo grado con radici complesse e coniugate , allora sempre lo potrai esprimere come somma di due quadrati ( infatti è sempre positivo ) .
Per risolvere l'ultimo integrale conviene usare il metodo del completamento del quadrato cioè riscrivere $x^2+2x+2 $ come somma di due quadrati $ x^2+2x+2 = 1+(x+1)^2 $ e quindi :
$intdx/(x^2+2x+2) = intdx/[1+(x+1)^2] = arctg(1+x) +k $.
In conclusione le primitive sono : $ (1/2)ln(x^2+2x+2) -arctg(x+1)+k $ .
P.S.
Se hai un trinomio di secondo grado con radici complesse e coniugate , allora sempre lo potrai esprimere come somma di due quadrati ( infatti è sempre positivo ) .
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