Questioni topologiche e affini
ciao a tutti. In questo ultimo periodo mi sto interessando della topologia di $RR$ e di sottinsiemi di $RR$ e del comportamento di funzioni e successioni dotando $RR$ di topologie diverse dall'usuale indotta da una metrica. e mi pongo alcune domande,in particolare:
1) è vero che nella topologia discreta, $1/x$ NON tende a 0 per $x \to +\infty$ ? (perché $EE$ un intorno di 0 cioè l'insieme contenente il solo 0 tale che $\nexists$ un intorno U di +$\infty$ tale che $x in U rArr f(x) in [0]$)?
2) è vero che in $RR$ dotato della topologia banale tutte le funzioni tendono a tutti i valori di $RR$, quindi in particolare va a farsi friggere l'unicità del limite(questo è poi vero soprattutto perché $(RR, \tau)$ non è uno Spazio di Hausdorff)?
inoltre, tralasciando ora la topologia e concentrandosi sugli insiemi linearmente ordinati (questa è la questione sulla quale sono più indeciso):
E' vero che, come esistono insiemi densamente ordinati che hanno lacune (come $QQ$), così esistono insiemi linearmente ordinati che non sono densamente ordinati ma che invece non hanno lacune (io ho trovato l'esempio di $NN$ dato che ogni sottoinsieme di $NN$ ammette inf e sup e ovviamente non è densamente ordinato, ma non so se è corretto!)?
sono sicuro che voi che siete più sgamati di me potete confermare o smentire con facilità le mie asserzioni
grazie mille a utti!
1) è vero che nella topologia discreta, $1/x$ NON tende a 0 per $x \to +\infty$ ? (perché $EE$ un intorno di 0 cioè l'insieme contenente il solo 0 tale che $\nexists$ un intorno U di +$\infty$ tale che $x in U rArr f(x) in [0]$)?
2) è vero che in $RR$ dotato della topologia banale tutte le funzioni tendono a tutti i valori di $RR$, quindi in particolare va a farsi friggere l'unicità del limite(questo è poi vero soprattutto perché $(RR, \tau)$ non è uno Spazio di Hausdorff)?
inoltre, tralasciando ora la topologia e concentrandosi sugli insiemi linearmente ordinati (questa è la questione sulla quale sono più indeciso):
E' vero che, come esistono insiemi densamente ordinati che hanno lacune (come $QQ$), così esistono insiemi linearmente ordinati che non sono densamente ordinati ma che invece non hanno lacune (io ho trovato l'esempio di $NN$ dato che ogni sottoinsieme di $NN$ ammette inf e sup e ovviamente non è densamente ordinato, ma non so se è corretto!)?
sono sicuro che voi che siete più sgamati di me potete confermare o smentire con facilità le mie asserzioni
grazie mille a utti!
Risposte
"Rinhos":Forse lo sai già, ma ti segnalo che su $RR$ esistono topologie indotte da una metrica diverse dalla topologia usuale. Ad esempio la topologia discreta è indotta da una metrica ($d(x, y)={(1, x=y), (0, x!=y):}$).
topologie diverse dall'usuale indotta da una metrica
e mi pongo alcune domande,in particolare:Si.
1) è vero che nella topologia discreta, $1/x$ NON tende a 0 per $x \to +\infty$ ? (perché $EE$ un intorno di 0 cioè l'insieme contenente il solo 0 tale che $\nexists$ un intorno U di +$\infty$ tale che $x in U rArr f(x) in [0]$)?
2) è vero che in $RR$ dotato della topologia banale tutte le funzioni tendono a tutti i valori di $RR$, quindi in particolare va a farsi friggere l'unicità del limite(questo è poi vero soprattutto perché $(RR, \tau)$ non è uno Spazio di Hausdorff)?Si.
inoltre, tralasciando ora la topologia e concentrandosi sugli insiemi linearmente ordinati (questa è la questione sulla quale sono più indeciso):Mettiamoci d'accordo sulle definizioni. Per insieme linearmente ordinato intendi forse un insieme totalmente ordinato, denso in sé stesso e con la proprietà dell'estremo superiore? (questo è quello che io conosco come continuo lineare)
"Rinhos":
1) è vero che nella topologia discreta, $1/x$ NON tende a 0 per $x \to +\infty$ ? (perché $EE$ un intorno di 0 cioè l'insieme contenente il solo 0 tale che $\nexists$ un intorno U di +$\infty$ tale che $x in U rArr f(x) in [0]$)?
Esatto.
Ah, le parentesi graffe si fanno così: \{ e \} ($\{ " e " \}$).
"Rinhos":
2) è vero che in $RR$ dotato della topologia banale tutte le funzioni tendono a tutti i valori di $RR$, quindi in particolare va a farsi friggere l'unicità del limite (questo è poi vero soprattutto perché $(RR, \{ \emptyset ,RR \})$ non è uno Spazio di Hausdorff)?
Esatto.
Inoltre, su ogni spazio banale con sostegno avente più di un punto non vale il teorema dell'unicità del limite (perchè non hai uno spazio di Hausdorff).
"Rinhos":
E' vero che, come esistono insiemi densamente ordinati che hanno lacune (come $QQ$), così esistono insiemi linearmente ordinati che non sono densamente ordinati ma che invece non hanno lacune (io ho trovato l'esempio di $NN$ dato che ogni sottoinsieme di $NN$ ammette inf e sup e ovviamente non è densamente ordinato, ma non so se è corretto!)?
Tre domande:
- Ordine lineare su $X$ vuol dire ordine totale (per ogni coppia di elementi $x,y\in X$ si ha $x<=y$ oppure $y<=x$)?
- Ordine denso in $X$ significa che $AA x<=y\in X, exists z:\ x<=z<=y$ (non c'entra la densità topologica, insomma)?
- Con lacuna di $X$ intendi una coppia di parti $A,B$ separate (ossia t.c. $AAx \in A,\ AA y\in B,\ x<=y$), contigue (ossia t.c. $AAxi < eta\inX,\ exists x\in A,\ exists y\in B:\ xi<= x<=y<=eta$) che però non hanno, rispettivamente, estremo superiore ed estremo inferiore in $X$?
Se è così, credo che gli esempi che hai trovato siano appropriati.
P.S.:@dissonance: E poi Einstein nega la contemporaneità degli eventi...
"dissonance":
Forse lo sai già, ma ti segnalo che su $RR$ esistono topologie indotte da una metrica diverse dalla topologia usuale. Ad esempio la topologia discreta è indotta da una metrica ($d(x, y)={(1, x=y), (0, x!=y):}$).
sìsì certo intendevo la topologia indotta dalla metrica euclidea (e altre, come $d_\infty$ o anche $d(x,y)= |arctan(x)-arctan(y)|)
Mettiamoci d'accordo sulle definizioni. Per insieme linearmente ordinato intendi forse un insieme totalmente ordinato, denso in sé stesso e con la proprietà dell'estremo superiore? (questo è quello che io conosco come continuo lineare)
nono, come insieme linearmente ordinato intendo insieme dotato di ordine lineare con le proprietà antisimmetrica e transitiva (ed eventualmente riflessiva o antiriflessiva). L'estremo superiore non è necessario (infatti considero $QQ$ come linearmente ordinato anche se non ogni sottinsieme di $QQ$ ammette estremo superiore).
ti spiego in dettagliio quello che ho letto nelle dispense di topologia del mio professore:
1) un taglio dove la sezione inferiore ha massimo e la sezione superiore ha minimo si dice "salto"
1bis) un insieme senza salti si dice "densamente ordinato"
2) un taglio dove la sezione inferiore non ha massimo e la sezione superiore non ha min
quindi in pratica $ZZ$ è pieno di salti (ovviamente) e quindi non è densamente ordinato, però $QQ$ lo è e però $QQ$ ammette lacune. e però $ZZ$ è privo di lacune!
"Gugo82":
Esatto.
Ah, le parentesi graffe si fanno così: \{ e \} ($\{ " e " \}$).
eheh, ero su un portatile senza tastierino numero
Tre domande:
- Ordine lineare su $X$ vuol dire ordine totale (per ogni coppia di elementi $x,y\in X$ si ha $x<=y$ oppure $y<=x$)?
- Ordine denso in $X$ significa che $AA x<=y\in X, exists z:\ x<=z<=y$ (non c'entra la densità topologica, insomma)?
- Con lacuna di $X$ intendi una coppia di parti $A,B$ separate (ossia t.c. $AAx \in A,\ AA y\in B,\ x<=y$), contigue (ossia t.c. $AAxi < eta\inX,\ exists x\in A,\ exists y\in B:\ xi<= x<=y<=eta$) che però non hanno, rispettivamente, estremo superiore ed estremo inferiore in $X$?
Se è così, credo che gli esempi che hai trovato siano appropriati.
esatto sìsì le definizioni che hai dato sono come le intendevo io
grazie mille delle risposte
[OT]
Puoi ottenere { e } anche senza tastierino numerico: usi AltGr + Shift + [ per la parentesi aperta e AltGr + Shift + ] per la chiusa.
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Puoi ottenere { e } anche senza tastierino numerico: usi AltGr + Shift + [ per la parentesi aperta e AltGr + Shift + ] per la chiusa.
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