Questione di teoria della misura
Salve a tutti, è da qualche giorno che ho in mente questa domanda a cui non riesco a rispondere:
Sia $(S,Sigma,mu)$ uno spazio misurabile tale che $mu(S)=1$; siano $X,Y: S to RR$ due funzioni misurabili su $(RR,\mathcal(B)(RR))$, e siano $C, D in \mathcal(B)(RR)$.
Esiste $f: S to RR$ misurabile, $f>0 "q.o."$, tale che $int_(X^(-1)(C) cap Y^(-1)(D)) f "d"mu = int_(X^(-1)(C)) f "d"mu \cdotint_(Y^(-1)(D)) f "d"mu$?
Qualcuno ha qualche idea o sa se è una cosa nota?
Grazie!
Sia $(S,Sigma,mu)$ uno spazio misurabile tale che $mu(S)=1$; siano $X,Y: S to RR$ due funzioni misurabili su $(RR,\mathcal(B)(RR))$, e siano $C, D in \mathcal(B)(RR)$.
Esiste $f: S to RR$ misurabile, $f>0 "q.o."$, tale che $int_(X^(-1)(C) cap Y^(-1)(D)) f "d"mu = int_(X^(-1)(C)) f "d"mu \cdotint_(Y^(-1)(D)) f "d"mu$?
Qualcuno ha qualche idea o sa se è una cosa nota?
Grazie!
Risposte
Direi che la domanda è probabilmente mal posta.
Se prendo $f=0$ l'uguaglianza è certamente valida.
Se prendo $f=0$ l'uguaglianza è certamente valida.
"Rigel":
Direi che la domanda è probabilmente mal posta.
Se prendo $f=0$ l'uguaglianza è certamente valida.
Ops
sì certo intendevo $f$ non banale altrimenti è ovvio...
Altra cosa che non mi è chiara: che ruolo svolgono le due funzione $X$ e $Y$ in tutto questo?
Basta chiamare $E= X^{-1}(C)$, $F=Y^{-1}(D)$, che saranno due elementi di $\Sigma$, e cercare $f$ tale che
$\int_{E\cap F} f d\mu = \int_E f d\mu \cdot \int_F f d\mu$,
o no?
Basta chiamare $E= X^{-1}(C)$, $F=Y^{-1}(D)$, che saranno due elementi di $\Sigma$, e cercare $f$ tale che
$\int_{E\cap F} f d\mu = \int_E f d\mu \cdot \int_F f d\mu$,
o no?
Ma riformula proprio tutto, è meglio. A cosa servono $X$ e $Y$? Toglili. Tu sostanzialmente ti stai chiedendo: sotto certe condizioni, è vero che l'integrale del prodotto è il prodotto degli integrali? Allora io direi:
Domanda: Sia assegnato uno spazio di misura $(S, mu)$ con $mu(S)=1$, e siano $A, B$ due parti misurabili di $S$. Esiste una funzione misurabile $f>0$ tale che
$int_(AnnB)f dmu=(int_A fdmu)(int_B f dmu)$?
Giusto? Mi pare equivalente alla domanda tua. E' così si intuisce anche come approcciare la risposta: considerando $S$ come uno spazio di probabilità e $A, B$ come due eventi, certamente una tale $f$ esiste se $A, B$ sono eventi indipendenti. In questo caso possiamo scegliere $f equiv 1$.
Domanda: Sia assegnato uno spazio di misura $(S, mu)$ con $mu(S)=1$, e siano $A, B$ due parti misurabili di $S$. Esiste una funzione misurabile $f>0$ tale che
$int_(AnnB)f dmu=(int_A fdmu)(int_B f dmu)$?
Giusto? Mi pare equivalente alla domanda tua. E' così si intuisce anche come approcciare la risposta: considerando $S$ come uno spazio di probabilità e $A, B$ come due eventi, certamente una tale $f$ esiste se $A, B$ sono eventi indipendenti. In questo caso possiamo scegliere $f equiv 1$.
Altra cosa che non mi è chiara: che ruolo svolgono le due funzione $X$ e $Y$ in tutto questo?
Basta chiamare $E= X^{-1}(C)$, $F=Y^{-1}(D)$, che saranno due elementi di $\Sigma$, e cercare $f$ tale che
$\int_{E\cap F} f d\mu = \int_E f d\mu \cdot \int_F f d\mu$,
o no?
Basta chiamare $E= X^{-1}(C)$, $F=Y^{-1}(D)$, che saranno due elementi di $\Sigma$, e cercare $f$ tale che
$\int_{E\cap F} f d\mu = \int_E f d\mu \cdot \int_F f d\mu$,
o no?
"dissonance":
Ma riformula proprio tutto, è meglio. A cosa servono $X$ e $Y$? Toglili. Tu sostanzialmente ti stai chiedendo: sotto certe condizioni, è vero che l'integrale del prodotto è il prodotto degli integrali? Allora io direi:
Domanda: Sia assegnato uno spazio di misura $(S, mu)$ con $mu(S)=1$, e siano $A, B$ due parti misurabili di $S$. Esiste una funzione misurabile $f>0$ tale che
$int_(AnnB)f dmu=(int_A fdmu)(int_B f dmu)$?
Giusto? Mi pare equivalente alla domanda tua. E' così si intuisce anche come approcciare la risposta: considerando $S$ come uno spazio di probabilità e $A, B$ come due eventi, certamente una tale $f$ esiste se $A, B$ sono eventi indipendenti. In questo caso possiamo scegliere $f equiv 1$.
Esattissimo, era quello che volevo dire, la cosa nasce proprio da una questione di probabilità, mi scuso per la poca chiarezza ma mi sembrava di perdere di generalità togliendo $X$ e $Y$
. Ad ogni modo: certamente se $A,B$ sono indipendenti, $f equiv 1$; ma in generale? La questione era in realtà che volevo provare a vedere se "Dato uno spazio di probabilità e due v.a. non indipendenti (le $X,Y$ della domanda), esiste sempre un cambio di misura che le renda indipendenti. La $f$ in questione sarebbe la derivata di Radon-Nicodyn tra le due misure"
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