Questa serie converge?
Buongiorno a tutti, qualcuno saprebbe darmi una mano con questa serie numerica? Bisogna stabilire se essa converge o no.
$ sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n)arctan(n) $
Ho pensato di utilizzare il criterio del confronto, considerando che arctan(n) è compreso tra $ -pi/2 $ e $ pi/2 $ .
Pertanto la serie maggiorata con cui confrontare la serie iniziale sarebbe:
$ pi/2 sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n) $
ma arrivati a questo punto mi blocco. È corretto il ragionamento? Consigli? Grazie!
$ sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n)arctan(n) $
Ho pensato di utilizzare il criterio del confronto, considerando che arctan(n) è compreso tra $ -pi/2 $ e $ pi/2 $ .
Pertanto la serie maggiorata con cui confrontare la serie iniziale sarebbe:
$ pi/2 sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n) $
ma arrivati a questo punto mi blocco. È corretto il ragionamento? Consigli? Grazie!
Risposte
Si il ragionamento è corretto ma stai andando nella direzione sbagliata...
Inizia col notare che $log(\frac{1+n}{n})=\log(1+\frac{1}{n})$ e chiediti a chi è asintotico questo logaritmo per $n$ che tende ad infinito.
Inizia col notare che $log(\frac{1+n}{n})=\log(1+\frac{1}{n})$ e chiediti a chi è asintotico questo logaritmo per $n$ che tende ad infinito.
Ti ringrazio per la risposta.
Considerando che ho sempre applicato le equivalenze asintotiche nei limiti per $x -> 0$, direi che per $n$ che tende ad infinito avrei $log(1)$. No?
Considerando che ho sempre applicato le equivalenze asintotiche nei limiti per $x -> 0$, direi che per $n$ che tende ad infinito avrei $log(1)$. No?
Si ma quello è il risultato del limite non è una funzione asintotica ad esso.
Prova a definire $x=\frac{1}{n}$ in modo da ottenere un limite in zero che dovresti conoscere bene.
Prova a definire $x=\frac{1}{n}$ in modo da ottenere un limite in zero che dovresti conoscere bene.
Ok quindi se non ho capito male, procedendo con un cambio di variabile $ x=1/n $, dato che $n -> oo$, $ x->0 $. Pertanto avrei $lim_(x->0) log(1 + x)$ che è asintotico ad $x$ e cioè a $1/n$.
La serie dunque diventerebbe $ sum_(n = 1)^(+oo) (arctan(n))/n $ ?
Sto cercando di capire il ragionamento quindi perdonami se ho scritto fesserie
La serie dunque diventerebbe $ sum_(n = 1)^(+oo) (arctan(n))/n $ ?
Sto cercando di capire il ragionamento quindi perdonami se ho scritto fesserie
Esatto!
Secondo te questa serie converge o diverge?
Secondo te questa serie converge o diverge?
Uhm, applicando il criterio degli infinitesimi, questo si ferma al primo passo, ovvero quando devo calcolare $lim_n n a_n$. Poichè questo limite non è zero (ma $pi/2$) il procedimento del criterio degli infinitesimi si arresta e direi che diverge. Corretto?
La serie diverge... ma il criterio degli infinitesimi (o teorema di Cauchy) non dice quello che hai scritto tu... afferma che se la serie converge allora $\lim_n a_n=0$
dove hai letto quel limite ?
dove hai letto quel limite ?
Sulle dispense del mio professore di Analisi.
Ecco uno screen (se è contro regolamento inserire link esterni lo rimuovo) http://prntscr.com/alz47a.
Ci sono diversi esercizi che richiedono questo tipo ti procedimento.
Ecco uno screen (se è contro regolamento inserire link esterni lo rimuovo) http://prntscr.com/alz47a.
Ci sono diversi esercizi che richiedono questo tipo ti procedimento.
Non avevo mai visto questo procedimento, comunque è corretto anche se resta un procedimento triste,
si sostituisce troppo al ragionamento.
Per dimostrare la divergenza era sufficiente notare che essa è minorata dalla serie armonica che diverge
si sostituisce troppo al ragionamento.
Per dimostrare la divergenza era sufficiente notare che essa è minorata dalla serie armonica che diverge
Probabilmente perchè il mio corso di Laurea non è prettamente matematico ma più orientato alla pratica (faccio Informatica e produzione Software, non Ingegneria Informatica).
Comunque, grazie davvero tantissimo per le risposte, tutto chiaro.
Comunque, grazie davvero tantissimo per le risposte, tutto chiaro.
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