Questa funzione non è integrabile vero?

[login2]

Se io prendo
$f(x)=1/(x^(1/3))(sin(1/x))$

è integrabile? nel suo insieme di definizione?

Bhè io direi di no perchè vicino allo 0 compie un numero di oscillazioni infinite in uno spazio finito..

E tuttavia volevo dimostrarlo coi criteri ma non ci riesco..

Tutto mi crolla quando leggo sugli appunti che $f(x)$ è sommabile (assolutamente integrabile)

E dunque mi chiedo che diffeenza c'è e cosa sbaglio nall'approccio a stabilire integrabilità..

[Brancaleone1]

La funzione

$f(x)=(sin(1/x))/(x^(1/3))$

è continua nel suo dominio $(-oo,0) cup (0,+oo)$, perché composizione di funzioni continue.

Esiste un teorema che afferma che se una funzione è continua allora è integrabile.
Volendo si può controllare se esiste in modo improprio in $0$...

[Noisemaker]

non so se può andare come ragionamento, ma considera

\begin{align*}
\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^{1/3}}\cdot \sin\frac{1}{x}
\end{align*}


in zero ha evidentemente problemi, in più non mantiene segno costante mentre si avvicina a zero, dunque considerando il valore assoluto della funzione integranda ottieni:

\begin{align*}
\left| \frac{1}{x^{1/3}}\cdot \sin\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x^{1/3}}\cdot\left| \sin\frac{1}{x}\right|\le\frac{1}{x^{1/3}}\cdot1\to \mbox {converge}
\end{align*}

quando $x\to+\infty$ ottieni

\begin{align*}
\left| \frac{1}{x^{1/3}}\cdot \sin\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x^{1/3}}\cdot \sin\frac{1}{x} \sim\frac{1}{x^{1/3}}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x^{4/3}}\to \mbox {converge}
\end{align*}

quindi quell'integrale converge in realtà

[login2]

Proprio non riesco a visualizzarlo..e ammettendo che io avessi soltanto la funzione
$f(x)=sin(1/x)$ è integrabile lo stesso?

@Brancaleone
è vero che se è continua in un intervallo è integrabile in quell'intervallo..solo che nello 0 insomma la funzione fa cose strane e non sapevo intuitivamente come visulaizzare l'integrale..

Ma che differenza c'è ai fini pratici tra una funzione integrabile e basta e una funzione assolutamente integrabile (Ho studiato la definizione col valore assoluto della funzione ma non mi è molto chiara.. :S)

[Noisemaker]

"login":Proprio non riesco a visualizzarlo..e ammettendo che io avessi soltanto la funzione
$f(x)=sin(1/x)$ è integrabile lo stesso?

una funzione limitata su un intervallo compatto, cioè una funzione $f:[a,b]\to \RR$ è sempre integrabile; naturalmente se tu poni la domanda relativamente alla funzione $f(x)=sin(1/x)$ sai che in ogni intervallo $[a,b]$ del suo dominio la funzione è integrabile; è chiaro che il problema si pone quando uno dei due estremi dell'intervallo tende ad un punto che non sta nel dominio (ma che è d'accumulazione); nel tuo caso la funzione $f(x)=sin(1/x)$ non è definita in $x=0$ e dunque se ad esempio vuoi sapere se la funzione è integrabile in $(0,1],$ devi considerare l'integrabilità in senso improprio,cioè

\begin{align*} \int_0^{1} \sin\frac{1}{x} \end{align*}

dove l'estremo inferiore di integrazione è un punto critico per la funzione integranda; tuttavia in questo caso la primitiva di quella funzione non si riesce a ricavare elementarmente e quindi devi cercare di confrontarla con una funzione più semplice; allora quanto $x\to0$ avrai che :

\begin{align*} \left|\sin\frac{1}{x}\right|< \frac{1}{x} \qquad\to \qquad
-\frac{1}{x}< \sin\frac{1}{x} < \frac{1}{x}\end{align*}

essedo ora le due funzioni esterne entrambe divergenti anche la funzione centrale dovrà necessariamente divergere
se poi vuoi considerare un intervallo di integrazione del tipo $[a,+\infty)$ allora avrai, osservando che quando $x\to+\infty$ la funzione è sempre positiva,

\begin{align*} \sin\frac{1}{x}\sim \frac{1}{x} \to\mbox{diverge}\end{align*}

e dunque l'integrale non converge.

Per capire meglio il concetto di integrale improprio, considera la funzione, più semplice $\frac{1}{e^{ x}}$ nell'intervallo $[1,+\infty)$ e cerchiamo di capire se è integrabile in tale intervallo, calcoliamo cioè:
\begin{align*}
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^{ x}}\,\,dx
\end{align*}

è chiaro che abbiamo a che fare con un intervallo illimitato, e dunque consideriamo un punto a caso $k$ in modo che $1
\begin{align*}
\lim_{k \to +\infty}\int_{1}^{k}\frac{1}{e^{ x}}\,\,dx =\lim_{k \to +\infty}\left[-e^{ -x}\right] _{1}^{k}=\lim_{k \to +\infty}\left[-e^{ -k}+e^{-1}\right] =e^{-1}
\end{align*}
essendo il lavore del limite finito, puoi concludere che l'integrale converge

"login":
Ma che differenza c'è ai fini pratici tra una funzione integrabile e basta e una funzione assolutamente integrabile (Ho studiato la definizione col valore assoluto della funzione ma non mi è molto chiara.. :S)

L'assoluta integrabilità implica l'integrabilità: infatti l'integrale è una somma, l'integrale di un valore assoluto effettua una somma di termini tutti positivi, mentre un integrale di $f(x)$ (non del suo valore assoluto) potrebbe sommare anche termini negativi (a seconda di com'è definita $f$). Quindi se esiste finito l'integrale di $|f(x)|$ esisterà finito anche l'integrale di $f(x),$ il viceversa ovviamente non è vero!
E' un discorso molto simile a quello che si fa per le serie (convergenza e convergenza assoluta).
Spero di esserti stato d'aiuto.

[login2]

Grazie per i chiarimenti Noisemaker
Putroppo le serie non le abbiamo ancora trattate, siamo passati direttamente agli integrali dal calcolo differenziale senza passare per le serie..

[Noisemaker]

"login":Grazie per i chiarimenti Noisemaker
Putroppo le serie non le abbiamo ancora trattate, siamo passati direttamente agli integrali dal calcolo differenziale senza passare per le serie..

probabilmente le farete dopo gli integrali, in modo da usare il criterio del cofronto con un integrale per le serie ... ma questa è un'altra storia

[login2]

Scusa se riapro la questione noisemaker ma ora che stavo rileggendo il tutto mi sono accorto di non avere chiaro al 100% il perchè dalla disuguaglianza

$1/(x^(1/3))|sin(1/x)|<1/(x^(1/3))$

posso concludere la funzione converge?!

Non ho ben capito se hai fatto un limite o un altro tipo di stima..perdona la mia ignoranza

[Noisemaker]

ho semplicemente usato il fatto che $|sin x|<1$ quindi $1/(x^(1/3))|sin(1/x)|<1/(x^(1/3))$

[login2]

Io intendevo deduci dalla disuguaglianza che la funzione converge attraverso i criteri d'integrabilità?
Altrimenti stabilito che la mia funzione è minore di un'altra dovrò pur trarre delle conclusioni, e difatti tu trai la conclusione di convergenza, io volevo sapere quale teorema, criterio, definizione teorica usi