Quesito sull'invertibilità di una funzione in un intervallo

[iverson9]

Salve, sono uno studente di economia, stamane nell'esercitarmi per l'esame di matematica mi sono imbattuto in un quesito a cui non riesco a dare una soluzione.
Premetto che il quesito in questione fa parte di una serie di quesiti a risposta "breve" come appendice ad un altro esercizio.

Il quesito in questione è questo: data la funzione $f(x) = sqrt(x) * ln(x) + sqrt(x+a) + ((ln(x))^3)/x$

Stabilire per quali valori del parametro reale $a$ la funzione $f(x)$ è invertibile in $(1, e^{3} )$

Il mio approccio è stato questo:
Sapendo che una funzione monotona è invertibile, ho pensato di porre $f'(x) > 0$ e poi tramite una semplice applicazione del teorema di Lagrange trovare i valori del parametro $a$.
Purtroppo il problema è immediato in quanto la diseguaglianza in questione si presenta di difficile risoluzione; se i miei calcoli non sono errati

$f'(x) = (x^2*ln(x)*sqrt(x+a) + 2x^2*sqrt(x+a) + x^2*sqrt(x) + 2*(ln^2(x))*(sqrt(x))*(sqrt(x+a))*(3-ln(x)))/(2*(x^2)*(sqrt(x+a))*(sqrt(x)))

nella diseguaglianza il problema me lo pone in numeratore in quanto il denominatore è $>0$ $ AA x in Dom(f')$

qualcuno sa aiutarmi?

grazie

[ciampax]

Non ho rifatto i conti della derivata, ma quello che ti basta fare è riflettere sul comportamento dei vari termini quando $x\in(1,e^3)$ Ad esempio, le due radici sono sempre positive (per definizione) mentre per il logaritmo hai che, essendo $1

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[iverson9]

perfetto, era così semplice, ovviamente nell'intervallo dato anche il numeratore è sempre positivo in quanto somma di termini positivi.
Ora sapendo che $f'(x)$ è sempre positiva in quell'intervallo $AA x in Dom f'(x)$ mi basta dire che è invertibile $AA a > -x$ o devo appunto utilizzare il corollario di Lagrange che ci assicura che $f(x)$ è crescente $AA x in [a,b]$ se $f'(x) \geq 0 AA x in [a,b]$ ??

Ci sono altri approcci a questo esercizio?

[iverson9]

nessun'altra opinione? è accettabile la mia soluzione? ha senso dire $AA a > -x$ ??

[Rigel1]

Innanzi tutto è necessario che la funzione sia definita in $(1,e^3)$, quindi deve essere $a\ge -1$.
Detto questo, per tali valori di $a$ si tratta della somma di tre funzioni strettamente crescenti in $(1,e^3)$; tale somma è dunque una funzione strettamente crescente.

[iverson9]

perchè maggiore o uguale? per $a=-1$ con $x=1$ $f'(x)$ non è definita!!

Quindi in conclusione è corretto il mio metodo risolutivo?

[salvozungri]

"iverson9":perchè maggiore o uguale? per $a=-1$ con $x=1$ $f'(x)$ non è definita!!

Quindi in conclusione è corretto il mio metodo risolutivo?

[tex]1\notin (1, e^3)[/tex] però il problema è un altro. Supponendo che la derivata prima sia corretta, essa è positiva per ogni [tex]x\in (1, e^3)[/tex], quindi per il corollario del teorema di Lagrange, [tex]f[/tex] è crescente in [tex](1, e^3)[/tex].
La positività della derivata prima però non ti dà informazioni su [tex]a[/tex]e dovendo essere una risposta breve, quella di Rigel è ottima.

Il tuo metodo risolutivo è inconcludente (però in altri casi può funzionare), pieno di conti insidiosi e ti fa perdere molto tempo.

Ciao

[iverson9]

si ma la stretta crescenza delle 3 funzioni che compongono $f(x)$ come la verifico?

[salvozungri]

Beh, bene o male dovresti conoscere l'andamento delle funzioni elementari, inoltre ricordando che se hai due funzioni crescenti, allora la funzione somma e la funzione prodotto sono crescenti, l'unica funzione di cui devi verificare la crescenza è [tex]\frac{\log^3(x)}{x}[/tex] sempre in [tex](1, e^3)[/tex]. Come vedi questa funzione è molto più tranquilla rispetto a quella di partenza, non credi?

[iverson9]

in effetti...con un po d'attenzione alla funzione di partenza la risoluzione è abbastanza immediata! grazie mille per le delucidazioni!