Quesito sull'inversa di una funzione
Ciao sto affrontando un quesito di analisi 1 sulle funzioni inverse..ok la mia funz e':
$f(x)=x^3+4x+1$ per ogni x appartenente a $[0,1]$.Si ponga $[c,d]$=imm(f)=$f([0,1])$ dove c R la funz inversa di f(x).Sia$ I=int_(c)^(d) g(y)dy$
Allora$ 4I+2/(g'_(+)(c))+1/(g'_(-)(d))=$
Io ho trovato c=1,d=6 e so che $g'(6)=1/(f'(1))$ e $f'(1)=7$
ma come faccio ora ad arrivare All'equazione dell'inversa!?!che poi dovrò integrare!qualcuno può aiutarmi!?!
$f(x)=x^3+4x+1$ per ogni x appartenente a $[0,1]$.Si ponga $[c,d]$=imm(f)=$f([0,1])$ dove c
Allora$ 4I+2/(g'_(+)(c))+1/(g'_(-)(d))=$
Io ho trovato c=1,d=6 e so che $g'(6)=1/(f'(1))$ e $f'(1)=7$
ma come faccio ora ad arrivare All'equazione dell'inversa!?!che poi dovrò integrare!qualcuno può aiutarmi!?!
Risposte
Ma non devi arrivare all'espressione dell'inversa, il punto dell'esercizio è proprio trovare un modo per farne a meno. Pensa alla formula di cambiamento di variabile.
???in che senso non capisco.
Per favore qualcuno ha un poco di pazienza per spiegarmi tale formula?
Ti sarà (spero) già capitato di incontrare la formula di integrazione per sostituzione, no?
Se supponi che $f$ sia anche biiettiva, diciamo con $f(a) = c$ e $f(b) = d$ (come avviene nel tuo caso), prendendo $\phi = f^{-1}$ (funzione indicata con $g$ nelle tue notazioni), osservando che $\phi(f(x)) = f^{-1}(f(x)) = x$ per definizione di funzione inversa, hai che
$\int_c^d g(y) dy = \int_a^b x f'(x) dx.$
Sia $f:[a,b]\to [c,d]$ una funzione derivabile con derivata continua, e sia $\phi: [c,d]\to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora
$\int_{f(a)}^{f(b)} \phi(y) dy = \int_a^b \phi(f(x)) f'(x)dx.$
Se supponi che $f$ sia anche biiettiva, diciamo con $f(a) = c$ e $f(b) = d$ (come avviene nel tuo caso), prendendo $\phi = f^{-1}$ (funzione indicata con $g$ nelle tue notazioni), osservando che $\phi(f(x)) = f^{-1}(f(x)) = x$ per definizione di funzione inversa, hai che
$\int_c^d g(y) dy = \int_a^b x f'(x) dx.$
@rigel piu' chiaro di così non si puo'!!!!grazie davvero!!!!!!!!
ma come trovo $g'_(+)(c)$ e$ g'_(-)(d)$
devo condiderare $ 1/(f'(a))$ e $1/(f'(b))$ ?
devo condiderare $ 1/(f'(a))$ e $1/(f'(b))$ ?
Dai, c'è un teorema apposta sulla derivata della funzione inversa. Non è possibile che tu non lo conosca.
si il teorema è quello che dice:Data f continua ed invertibile in $I_(r)(x_(0))$,con f derivabile in $x_(0)$,f'($x_(0)$) diversa da 0.Allora $f^(-1)$ è derivabile in $y_(0)=f(x_(0))$ e $f^(-1)(y_(0))=1/(f'(x_(0))$ $=(1/(f'(f^(-1)(y_(0)))$
il problema è che non riesco ad orientarmi con sti intervalli!
ma almeno la considerazione che ho fatto prima è valida?
il problema è che non riesco ad orientarmi con sti intervalli!
ma almeno la considerazione che ho fatto prima è valida?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo