Quesito sull'estremo inferiore di una funzione mista
Buongiorno a tutti, anticipo che sebbene la domanda che pongo sia in salsa probabilistica il quesito è prettamente matematico.
Ho due variabili aleatorie X,Y che hanno rispettivamente leggi $P_X$ e $P_Y$. Definiamo la seguente funzione come segue:
$A(x):=P_X((- ∞,x])+P_Y((- ∞,x])$ per x che appartiene ai reali.
A questo punto devo verificare o falsificare il seguente punto:
inf${ x∈ R:A(x)>=0.01} $ NON ESISTE MAI.
Sinceramente non saprei davvero come fare a dimostrare l'esistenza o meno dell'estremo inferiore così definito. Vi sarei davvero grato se risolveste questo mio problema.
Per completezza aggiungo che il quesito chiedeva anche di provare se A(X) è decrescente, sempre invertibile e se esistesse $P((c,d])=A(d)-A(c)$ lo riporto in caso servisse, grazie a chiunque risponderà.
Ho due variabili aleatorie X,Y che hanno rispettivamente leggi $P_X$ e $P_Y$. Definiamo la seguente funzione come segue:
$A(x):=P_X((- ∞,x])+P_Y((- ∞,x])$ per x che appartiene ai reali.
A questo punto devo verificare o falsificare il seguente punto:
inf${ x∈ R:A(x)>=0.01} $ NON ESISTE MAI.
Sinceramente non saprei davvero come fare a dimostrare l'esistenza o meno dell'estremo inferiore così definito. Vi sarei davvero grato se risolveste questo mio problema.
Per completezza aggiungo che il quesito chiedeva anche di provare se A(X) è decrescente, sempre invertibile e se esistesse $P((c,d])=A(d)-A(c)$ lo riporto in caso servisse, grazie a chiunque risponderà.
Risposte
Posto un'idea: mi hanno detto che se dimostrassi che A(x) è continua dimostrerei che tale estremo inferiore esiste. Non ho ben capito il perché. Però se questa idea è giusta potrei ottenere A(x) come somma di due funzioni di distribuzione assolutamente continue così da dimostrare che esiste il caso in cui A(x) è continua e dunque l'inf esiste. Opinioni?
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