Quesito sulla differenziabilità
salve,
allora io ho questa funzione:
[tex]f(x,y) = \begin{cases}\frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y)\ne (0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}[/tex]
volevo vedere se è differenziabile in $(0,0)$
Ho iniziato a calcolarmi i rapporti incrementali in tal punto:
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=|x|\ \lim_{(0,0)} |x|=0=f'_x(0,0)$
$\frac{\Delta f}{\Delta y}=-|y|\ \lim_{(0,0)} -|y|=0=f'_y(0,0)$
quindi esistono le derivate parziali. Ora passo alla seconda condizione per la differenziabilità:
$\Delta f=\frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$
$df=0$ ; $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}$
a questo punto mi calcolo $\lim_{(0,0)} \frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
per ovviare alla f.i. che ne verrebbe fuori, ho visto (in altra sede) che $\frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$ è infinitesima per $(x,y)\to (0,0)$ ma l'altra non mi pare limitata...che potrei fare?
allora io ho questa funzione:
[tex]f(x,y) = \begin{cases}\frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y)\ne (0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}[/tex]
volevo vedere se è differenziabile in $(0,0)$
Ho iniziato a calcolarmi i rapporti incrementali in tal punto:
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=|x|\ \lim_{(0,0)} |x|=0=f'_x(0,0)$
$\frac{\Delta f}{\Delta y}=-|y|\ \lim_{(0,0)} -|y|=0=f'_y(0,0)$
quindi esistono le derivate parziali. Ora passo alla seconda condizione per la differenziabilità:
$\Delta f=\frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$
$df=0$ ; $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}$
a questo punto mi calcolo $\lim_{(0,0)} \frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
per ovviare alla f.i. che ne verrebbe fuori, ho visto (in altra sede) che $\frac{x^3-y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$ è infinitesima per $(x,y)\to (0,0)$ ma l'altra non mi pare limitata...che potrei fare?
Risposte
se passi in coordinate polari il denominatore scompare 
Dovrei cioè scrivere il numeratore come $x^3-y^3=1-i^3$ e il denominatore come $1$ ?
"Orlok":
Dovrei cioè scrivere il numeratore come $x^3-y^3=1-i^3$ e il denominatore come $1$ ?
io direi che $x=rhocos(theta)$ e $y=rhosin(theta)$ così la frazione rimane $rho(cos(theta)^3-sin(theta)^3)$ e questa è facile da maggiorare
Forse senza passare alle coordinate polari ho trovato un metodo:
Studio il valore assoluto di $\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}$ ossia $\frac{|x^3-y^3|}{x^2+y^2}$
Applico la disuguaglianza triangolare e ottengo:
$\frac{|x^3-y^3|}{x^2+y^2}\le \frac{|x|^3+|y|^3}{x^2+y^2}\le \frac{|x|^3}{x^2}+\frac{|y|^3}{y^2}=|x|+|y|$ con cui $\lim_{(0,0)} |x|+|y|=0$
Che ne pensate di questo metodo? Ho forse sbagliato qualcosa soprattutto nelle semplificazioni coi valori assoluti?
Studio il valore assoluto di $\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}$ ossia $\frac{|x^3-y^3|}{x^2+y^2}$
Applico la disuguaglianza triangolare e ottengo:
$\frac{|x^3-y^3|}{x^2+y^2}\le \frac{|x|^3+|y|^3}{x^2+y^2}\le \frac{|x|^3}{x^2}+\frac{|y|^3}{y^2}=|x|+|y|$ con cui $\lim_{(0,0)} |x|+|y|=0$
Che ne pensate di questo metodo? Ho forse sbagliato qualcosa soprattutto nelle semplificazioni coi valori assoluti?
"Orlok":Come hai ottenuto questa disuguaglianza?
$\frac{|x|^3+|y|^3}{x^2+y^2}\le \frac{|x|^3}{x^2}+\frac{|y|^3}{y^2}$
osservando che $x^2\le x^2+y^2$ passando ai reciproci $\frac{1}{x^2+y^2}\le \frac{1}{x^2}$; stessa cosa per $y^2$
Giusto?
[mod="dissonance"]Mi dispiace ma devo bloccare il topic per 24 ore. Non è tollerabile che un utente di lungo corso faccia UP dopo solo mezz'ora, invece delle 24 minime. [/mod]
Comunque ad una occhiata rapida mi pare giusto, poi ne riparliamo domani. Ma le coordinate polari non ti piacciono? Guarda che rendono questo esercizio veramente facile.
Comunque ad una occhiata rapida mi pare giusto, poi ne riparliamo domani. Ma le coordinate polari non ti piacciono? Guarda che rendono questo esercizio veramente facile.
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