Quesito sul teorema del Dini

[mikandrea]

Buongiorno,
sto cercando di capire se il seguente quesito è vero o falso:
"Data una funzione $ F\in C^2(R^2), \quad \text{tale che}\quad F(0,0)=8, $
se $ \nabla F(0,0)=(1,0) \ , F_{x x}(0,0)=F_{xy}(0,0)=0, \ F_{yy}(0,0)=3, $
allora l'equazione F(x,y)=8 in un intorno di (0,0) definisce implicitamente una funzione x=h(y) tale che h(0)=0 e h in 0 ha un minimo relativo"

Il mio ragionamento fin'ora è questo: Dato che $ F(0,0)=8 $ e $ F_{x}(0,0)!= 0 $ il teorema del Dini è soddisfatto e quindi è vero che l'equazione F(x,y)=8 in un intorno di (0,0) definisce implicitamente una funzione x=h(y). C'è però modo di capire se h ha un minimo relativo in 0?

Grazie

[feddy]

Il Dini non solo ti informa dell' esistenza di una tale funzione $h \in C^{1}$ ma ti dice anche quanto vale la sua derivata in $0$...

[gugo82]

Il teorema (anzi, il fatto che $h$ sia implicitamente definita da un'equazione) ti fornisce anche un modo per calcolare le derivate di $h$.
Visto che $F(h(y),y)=0$ e che $h$ è abbastanza regolare, quanto vale la derivata di $y \mapsto F(h(y),y)$ intorno a $0$ ed in $0$?
Cosa puoi dedurre circa la derivata prima di $h$ in $0$?
E la derivata seconda?

[mikandrea]

"gugo82":Il teorema (anzi, il fatto che $h$ sia implicitamente definita da un'equazione) ti fornisce anche un modo per calcolare le derivate di $h$.
Visto che $F(h(y),y)=0$ e che $h$ è abbastanza regolare, quanto vale la derivata di $y \mapsto F(h(y),y)$ intorno a $0$ ed in $0$?
Cosa puoi dedurre circa la derivata prima di $h$ in $0$?
E la derivata seconda?

Grazie dell'input.
Ho calcolato $ h'(0)=- (F_y(0,0))/(F_x(0,0))=0 $
Da questo posso dedurre che h ha un punto critico in 0.
Ho poi continuato derivando $ h'(y)=- (F_y(x,y))/(F_x(x,y)) $ e se non ho commesso errori di calcolo dovrebbe risultare
$ h''(y)=- (F_(y y)F_x^2-2F_(xy)F_xF_y+F_(x x))/(F_x)^3 $
e conseguentemente $ h''(0)=-3 $
Questo vuol dire che h ha un punto di massimo in 0?
Se sì come posso capire se è relativo o assoluto?