Quesito su funzioni e derivate
Buongiorno a tutti,
vi propongo una domanda d esame alla quale non riesco a dare una risposta:
sia $f(x)$ una funzione di classe $C^1$ nell intervallo $[0,\+infty)$ con $f(0)=0$, è vero che $|f'(x)|\leq 1 leftrightarrow |f(x)|\leq x$?
non riesco a capire come giustificare o negare tale affermazione chi può darmi un aiuto?
Grazie
vi propongo una domanda d esame alla quale non riesco a dare una risposta:
sia $f(x)$ una funzione di classe $C^1$ nell intervallo $[0,\+infty)$ con $f(0)=0$, è vero che $|f'(x)|\leq 1 leftrightarrow |f(x)|\leq x$?
non riesco a capire come giustificare o negare tale affermazione chi può darmi un aiuto?
Grazie
Risposte
[size=80]EDIT
La risposta esatta è quella di Paolo90, quindi cancello la mia.
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La risposta esatta è quella di Paolo90, quindi cancello la mia.
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"enzolo89":
sia $f(x)$ una funzione di classe $C^1$ nell intervallo $[0,\+infty)$ con $f(0)=0$, è vero che $|f'(x)|\leq 1 leftrightarrow |f(x)|\leq x$?
Teorema di Lagrange.
Btw, la freccia inversa mi pare falsa, cioè se sai che $f \in C^1$ e \( \vert f(x) \vert \le x \) non hai modo di recuperare informazioni globali sulla derivata (esistono funzioni $C^1$, maggiorate da $x$, ma non 1-lipschitziane).
scusa Paolo ma non avendo mai studiato le funzioni lipschitziane faccio fatica a capire il tuo discorso.
vediamo se ho capito: grazie al teorema di lagrange quindi la relazione sarebbe dimostrato ma solo da sinistra verso destra giusto?
quindi avere una funzione maggiorata da x è condizione solo necessaria ma non sufficiente affinchè abbia un incremento minore o pari a 1 ho capito bene?
ma le ipotesi di langrange non sono che l' intervallo è chiuso e limitato?
vediamo se ho capito: grazie al teorema di lagrange quindi la relazione sarebbe dimostrato ma solo da sinistra verso destra giusto?
quindi avere una funzione maggiorata da x è condizione solo necessaria ma non sufficiente affinchè abbia un incremento minore o pari a 1 ho capito bene?
ma le ipotesi di langrange non sono che l' intervallo è chiuso e limitato?
Facciamo le cose per bene. Sia $f: I=[0, +\infty) \to \RR$ con $f(0)=0$ e di classe $C^1$ (che poi bisognerebbe precisare un attimo che cosa si intende dicendo che una funzione è $C^1$ su un insieme non aperto, ma va be', chiudiamo un occhio 
). Supponiamo che $|f'(x)|\le 1$ per ogni $x \in I$.
Preso $x \in I$, con $x>0$, si ha, applicando Lagrange a $f$ in $[0,x]$ (le ipotesi sono soddisfatte)
\[
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c)
\]
per qualche $c \in [0,x]$. Prendendo i valori assoluti e ricordando le ipotesi si ha
\[
\left\vert \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \right \vert = \left\vert \frac{f(x)}{x} \right \vert=\vert f'(c) \vert \le 1
\]
e quindi
\[
\vert f(x) \vert \le \vert x \vert = x.
\]
Poichè quest'ultima relazione è banalmente vera (per verifica diretta) anche in $x=0$ abbiamo ottenuto in definitiva
\[
\vert f(x) \vert \le x, \qquad \forall x \in I
\]
che conclude la nostra dimostrazione.
Quanto alle funzioni lipschitziane, non ti spaventare, è solo un nome; prova a farti un disegnino per convincerti del fatto che l'inverso non può essere vero. Hai una funzione il cui grafico vive interamente nella parte di piano compresa tra l'asse $x$ e la retta $y=x$: non vi è alcun motivo che impedisca a $f$ di impennarsi (pensa ad una funzione che parte da zero, poi sale poco poco per un tratto e poi si impenna vertiginosamente). Questa "impennata" viola la condizione sulla derivata prima e hai così prodotto un controesempio.
Un po' più chiaro?
). Supponiamo che $|f'(x)|\le 1$ per ogni $x \in I$. Preso $x \in I$, con $x>0$, si ha, applicando Lagrange a $f$ in $[0,x]$ (le ipotesi sono soddisfatte)
\[
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c)
\]
per qualche $c \in [0,x]$. Prendendo i valori assoluti e ricordando le ipotesi si ha
\[
\left\vert \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \right \vert = \left\vert \frac{f(x)}{x} \right \vert=\vert f'(c) \vert \le 1
\]
e quindi
\[
\vert f(x) \vert \le \vert x \vert = x.
\]
Poichè quest'ultima relazione è banalmente vera (per verifica diretta) anche in $x=0$ abbiamo ottenuto in definitiva
\[
\vert f(x) \vert \le x, \qquad \forall x \in I
\]
che conclude la nostra dimostrazione.
Quanto alle funzioni lipschitziane, non ti spaventare, è solo un nome; prova a farti un disegnino per convincerti del fatto che l'inverso non può essere vero. Hai una funzione il cui grafico vive interamente nella parte di piano compresa tra l'asse $x$ e la retta $y=x$: non vi è alcun motivo che impedisca a $f$ di impennarsi (pensa ad una funzione che parte da zero, poi sale poco poco per un tratto e poi si impenna vertiginosamente). Questa "impennata" viola la condizione sulla derivata prima e hai così prodotto un controesempio.
Un po' più chiaro?
chiarissimo...grazie mille 
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