Quesito su alcune integrazioni
Salve a tutti. Non sono molto bravo a scrivere su questo sito. Se qulcuno traducesse il mio integrale lo ringrazio in anticipo. Ho un problema con un integrale ovvero:
se ho un integrale generico con all'interno questa formula
$\int((z/(3b))^2)dz$
la primitiva sarà:
$(z^3)/(27b^3)$
oppure:
$(z^3)/(27b^2)$
la domanda può sembrarvi strana ma non capisco se bisogna prima svolgere il quadrato e poi integrare o si può integrare direttamente senza svolgere il quadrato. Vi ringrazio in anticipo ed attendo un vostro suggerimento
se ho un integrale generico con all'interno questa formula
$\int((z/(3b))^2)dz$
la primitiva sarà:
$(z^3)/(27b^3)$
oppure:
$(z^3)/(27b^2)$
la domanda può sembrarvi strana ma non capisco se bisogna prima svolgere il quadrato e poi integrare o si può integrare direttamente senza svolgere il quadrato. Vi ringrazio in anticipo ed attendo un vostro suggerimento
Risposte
Ciao, la risposta giusta è la seconda, è possiamo provarlo in tutti e due i modi.
Svolgendo subito il quadrato, otteniamo
$int frac{z^2}{9b^2)dz$ quindi portiamo fuori il denominatore che è costante
$1/(9b^2)int z^2 "d"z$
Ora l'integrale è facile e viene
$1/(9b^2)*(z^3/3)+c$ quindi $frac{z^3}{27b^2}$
Senza svolgere il quadrato, abbiamo
$int (frac{z}{3b})^2dz$
quindi possiamo moltiplicare e dividere per $1/(3b)$
$3b*int 1/(3b)*(frac{z}{3b})^2dz$
Ma riconosci la formula generale
$int f'(x)f(x)^(alpha)"d"x=(f(x)^(alpha+1))/(alpha+1)+c$
Nel nostro caso $f(z)=frac{z}{3b}$ e ovviamente $f'(z)=1/(3b)$
quindi applichiamo la formula e abbiamo
$3b*((z/(3b))^3)/3$ cioè
$z^3/(27b^2)$ cioè lo stesso risultato di prima.
Se non ti è chiaro, chiedi.
Buonanotte.
Svolgendo subito il quadrato, otteniamo
$int frac{z^2}{9b^2)dz$ quindi portiamo fuori il denominatore che è costante
$1/(9b^2)int z^2 "d"z$
Ora l'integrale è facile e viene
$1/(9b^2)*(z^3/3)+c$ quindi $frac{z^3}{27b^2}$
Senza svolgere il quadrato, abbiamo
$int (frac{z}{3b})^2dz$
quindi possiamo moltiplicare e dividere per $1/(3b)$
$3b*int 1/(3b)*(frac{z}{3b})^2dz$
Ma riconosci la formula generale
$int f'(x)f(x)^(alpha)"d"x=(f(x)^(alpha+1))/(alpha+1)+c$
Nel nostro caso $f(z)=frac{z}{3b}$ e ovviamente $f'(z)=1/(3b)$
quindi applichiamo la formula e abbiamo
$3b*((z/(3b))^3)/3$ cioè
$z^3/(27b^2)$ cioè lo stesso risultato di prima.
Se non ti è chiaro, chiedi.
Buonanotte.
$int\(z/(3b))^2 dz =1/3 z^3 * 1/(9b^2) + C = z^3/(27b^2) +C$ perché $b$ è considerata costante. in questo caso è più semplice svolgere prima il quadrato.
svolgere "direttamente" l'integrale significa considerare $f(z)=z/(3b)$. in tal caso devi tener presente che $f'(z)=1/(3b)$ e quindi devi moltiplicare e dividere per $3b$ per poter applicare la formula seguente: $int\f(x)^2*f'(x)dx=1/3 * f(x)^3 + C$. nel tuo caso:
$3b*\int\(z/(3b))^2*1/(3b)*dz=3b*1/3*(z/(3b))^3 + C=b*z^3/(27b^3)+C=z^3/(27b^2)+C$
OK? ciao.
svolgere "direttamente" l'integrale significa considerare $f(z)=z/(3b)$. in tal caso devi tener presente che $f'(z)=1/(3b)$ e quindi devi moltiplicare e dividere per $3b$ per poter applicare la formula seguente: $int\f(x)^2*f'(x)dx=1/3 * f(x)^3 + C$. nel tuo caso:
$3b*\int\(z/(3b))^2*1/(3b)*dz=3b*1/3*(z/(3b))^3 + C=b*z^3/(27b^3)+C=z^3/(27b^2)+C$
OK? ciao.
sono arrivata tardi... buona notte...
Vi ringrazio moltissimo per la delucidazione. Sto preparando un esame di scienza delle costruzioni e ogni tanto compaiono esercizi svolti in maniera differente e quindi chiedo. Il fatto è che a volte trovo parti di esercizi svolti diversamente. Per esempio:
integrale generico di (q/2)(l-z)^2 dz
e la sua primitiva è svolta cosi:
(q/6)(l-z)^3
E' possibile secondo voi? O c'e quelcosa che non va?
integrale generico di (q/2)(l-z)^2 dz
e la sua primitiva è svolta cosi:
(q/6)(l-z)^3
E' possibile secondo voi? O c'e quelcosa che non va?
Manca un segno, il risultato corretto è
$-(q/6)(l-z)^3+c$
$-(q/6)(l-z)^3+c$
Ma mi sapresti spiegare il perchè del segno? e se dovessi fare la primitiva di quest'ultimo il segno sparirebbe?
se $f(z)=l-z$, $f'(z)=-1$... OK? ciao.
mi servirebbe un ultimo esempio pratico: se io ho un integrale generico con all'interno la seguente formula:
((2/5)z-2b)^2
la primitiva quale è?
e potrete mettere anche lo svolgimento? grazie a tutti in anticipo
((2/5)z-2b)^2
la primitiva quale è?
e potrete mettere anche lo svolgimento? grazie a tutti in anticipo
ovviamente si può anche svolgere il quadrato... non è quello che ti serve ma lo puoi usare per il confronto dei risultati. ricordati la formula scritta da me nel caso del quadrato e quella generale scritta da Steven. qui hai $f(z)=2/5z-2b$, la derivata è 2/5 per cui :
$5/2*\int\2/5*(2/5z-2b)^2\dz=5/2*1/3*(2/5z-2b)^3+C$ . è chiaro? ciao.
$5/2*\int\2/5*(2/5z-2b)^2\dz=5/2*1/3*(2/5z-2b)^3+C$ . è chiaro? ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo