Quesito 'semplice' ma 'importante'...

[Sk_Anonymous]

Ragazzi
un quesito in apparenza 'semplice' al punto da sembrare ‘ovvio’, di fatto però assai ‘importante’… tutti noi fin dal tempo dell’esame di Analisi 1 sappiamo che se in un intervallo $a
$g’(y_0)=1/(f’(x_0))$ (1)

Il quesito in realtà e l’insieme di due quesiti…

a) sotto quali ipotesi esiste in $y_0$ la derivata seconda $g’’(y_0)$?…
b) in tal caso qual è l’espressione di $g’’(y_0)$ funzione di $f’(x_0)$, $f’’(x_0)$?…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Piera4]

a) Credo che siano le stesse per la derivata prima con l'aggiunta che $f$ sia derivabile due volte.

b) Supponiamo quindi che $f(x)$ sia derivabile due volte su $(a,b)$ e per semplicità che $f'(x) ne 0$ di modo che $g'(y)=g'(f(x))=1/(f'(x))$ per ogni $x in (a,b)$.
Derivando membro a membro otteniamo
$g''(f(x))*f'(x)=-(f''(x))/(f'(x))^2$
da cui
$g''(y)=g''(f(x))=-(f''(x))/(f'(x))^3$.

[Sk_Anonymous]

Se devo essere sincero ero già arrivato alla formula scritta da Piera, solo che non ne ero del tutto sicuro, soprattutto per via del fattore cubico che sta al denominatore...

Ora invece non ho più dubbi e quindi ringrazio di cuore!...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature