Quesito pseudoteorico analisi 1
Ciao a tutti, volevo chiedervi un quesito.
Se h: R->R è una funzione due volte derivabile quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?
A) Se il limite per x che tende a meno infinito di h(x)=0 e la derivata seconda è sempre maggiore di zero allora il limite per x che tende a più infinito di h(x) è più infinito.
B) Se Xo è il punto di massimo assoluto di h allora h''(Xo)<0
C) Se h non ha minimo in R allora h non è limitata inferiormente in R
D) Se h'(Xo)=h''(Xo) = 0 allora Xo è un punto di flesso di h.
La mia domanda principale è: cosa significa che la funzione è due volte derivabile? Che non esiste la derivata terza? Che questa sia 0? Cioè, x^2 è derivabile 2 volte o 3?
E poi, perchè la risposta corretta è A? Cosa c'è di sbagliato in D? Se f'(xo)=f''(xo)=0 non c'è per forza un flesso? A meno che f''(x) non sia sempre 0....
C'è qualche esempio che posso fare per capire meglio? Io avevo pensato a 1/x^2 come controesempio per A...
Grazie in anticipo!
Se h: R->R è una funzione due volte derivabile quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?
A) Se il limite per x che tende a meno infinito di h(x)=0 e la derivata seconda è sempre maggiore di zero allora il limite per x che tende a più infinito di h(x) è più infinito.
B) Se Xo è il punto di massimo assoluto di h allora h''(Xo)<0
C) Se h non ha minimo in R allora h non è limitata inferiormente in R
D) Se h'(Xo)=h''(Xo) = 0 allora Xo è un punto di flesso di h.
La mia domanda principale è: cosa significa che la funzione è due volte derivabile? Che non esiste la derivata terza? Che questa sia 0? Cioè, x^2 è derivabile 2 volte o 3?
E poi, perchè la risposta corretta è A? Cosa c'è di sbagliato in D? Se f'(xo)=f''(xo)=0 non c'è per forza un flesso? A meno che f''(x) non sia sempre 0....
C'è qualche esempio che posso fare per capire meglio? Io avevo pensato a 1/x^2 come controesempio per A...
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao sasukeit e ben iscritto. Ti chiedo di editare riscrivendo il quesito che hai messo come immagine. Dopo un certo periodo di tempo le immagini non si caricano più e questa discussione perderebbe di significato, grazie.
Fatto... non so come scrivere in formule però...
Benvenuto al forum e buona permanenza.
E' più facile di quello che pensi: in genere basta scrivere come si scrivono usualmente le formule in riga - roba tipo x^4 oppure (log(x))/(x^2+1), per esempio - e racchiudere il tutto da due simboli di dollaro (c'è un link interessante a tal proposito nel box rosa in alto quando scrivi un post).
Non ti do una mano nel quesito semplicemente perché ho in mente soluzioni "grafiche" e in genere non piacciono molto ai prof. Per esempio, nella risposta A il fatto che la derivata seconda è sempre maggiore di zero mi fa venire in mente una funzione sempre convessa ecc...
Però se si vuole una risposta analitica... passo la palla.
Quando si dice "data una funzione derivabile $n$ volte", vuol dire che tale funzione ha sicuramente le prime $n$ derivate. Che dopo queste non ne esistano più oppure sia derivabile infinite volte non ci interessa, l'importante è che abbia le prime $n$.
Nel tuo caso, dunque, una funzione derivabile due volte, vuol dire che nel dominio esistano (almeno) le due derivate. Se ce ne sono di più o se ci si ferma lì, non importa, però ne devono esistere 2.
Il controesempio non va bene perché $f(x)=1/x^2$ non rispetta l'ipotesi semplicemente perché non è definita su tutto $\RR$.
"Sasukeit":
Fatto... non so come scrivere in formule però...
E' più facile di quello che pensi: in genere basta scrivere come si scrivono usualmente le formule in riga - roba tipo x^4 oppure (log(x))/(x^2+1), per esempio - e racchiudere il tutto da due simboli di dollaro (c'è un link interessante a tal proposito nel box rosa in alto quando scrivi un post).
Non ti do una mano nel quesito semplicemente perché ho in mente soluzioni "grafiche" e in genere non piacciono molto ai prof. Per esempio, nella risposta A il fatto che la derivata seconda è sempre maggiore di zero mi fa venire in mente una funzione sempre convessa ecc...
Però se si vuole una risposta analitica... passo la palla.
"Sasukeit":
La mia domanda principale è: cosa significa che la funzione è due volte derivabile? Che non esiste la derivata terza? Che questa sia 0? Cioè, x^2 è derivabile 2 volte o 3?
Quando si dice "data una funzione derivabile $n$ volte", vuol dire che tale funzione ha sicuramente le prime $n$ derivate. Che dopo queste non ne esistano più oppure sia derivabile infinite volte non ci interessa, l'importante è che abbia le prime $n$.
Nel tuo caso, dunque, una funzione derivabile due volte, vuol dire che nel dominio esistano (almeno) le due derivate. Se ce ne sono di più o se ci si ferma lì, non importa, però ne devono esistere 2.
Il controesempio non va bene perché $f(x)=1/x^2$ non rispetta l'ipotesi semplicemente perché non è definita su tutto $\RR$.
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