Quesito per chi studia Analisi I

[gugo82]

Un esercizio della serie Come capire quanto le piccolezze influenzino ben noti risultati (in questo caso, il Teorema di Fermat).

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Siano [tex]a Come al solito diciamo che [tex]f[/tex] è derivabile in [tex]c\in ]a,b[[/tex] se e solo se esiste finito il [tex]\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}[/tex] e diciamo che [tex]f[/tex] è derivabile in [tex]]a,b[[/tex] se essa è derivabile in ogni punto [tex]c \in ]a,b[[/tex].

Estendiamo poi il significato di "derivabile" agli estremi dell'intervallo: in particolare diciamo che [tex]f[/tex] è derivabile in [tex]a[/tex] [risp. in [tex]b[/tex]] se e solo se esiste finito il:

[tex]\lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex] [risp. [tex]\lim_{h\to 0^-} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}[/tex]].

Quindi diciamo che [tex]f[/tex] è derivabile in [tex][a,b][/tex] quando essa è derivabile in [tex]]a,b[[/tex], in [tex]a[/tex] ed in [tex]b[/tex].

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Esercizio:

Dire se vale la seguente generalizzazione del Teorema di Fermat:

"Sia [tex]f:[a,b]\to \mathbb{R}[/tex] una funzione derivabile in [tex][a,b][/tex].
Se [tex]f[/tex] ha un estremo locale in [tex]c\in [a,b][/tex] (ossia un massimo o minimo locale), allora [tex]f'(c)=0[/tex]."

In caso di risposta contraria, riportare almeno un controesempio.

[Paolo902]

Come si dice, tentar non nuoce. Io ci provo, spero il grande Gugo non si arrabbi troppo in caso di risposta sbagliata...
Anche se dubito sia corretto il mio ragionamento, spoilerizzo comunque per correttezza.

Premetto che io mi ero chiesto all'incirca la stessa cosa, perchè a lezione il prof ha dimostrato il teorema con $x_0$ punto interno.
Secondo me, la generalizzazione proposta non vale.

Consideriamo ad esempio, la funzione $f(x)=x$ definita su un qualsiasi compatto, diciamo $[0,1]$: per Weierstrass, essa ammette massimo e minimo. E non è difficile trovare che in $x=0$ e in $x=1$ si hanno risp. un punto di minimo e uno di massimo (entrambi assoluti e perciò anche relativi). Tuttavia, la derivata destra in $0$ vale $1$, come pure la derivata sinistra in $1$ (dove con derivata destra e sinistra intendo i limiti del rapporto incrementale che hai indicato tu sopra).

Quindi, $f'_+(0)=f'_(-)(1)=1$ che è diverso da zero. Dunque la generalizzazione non vale.

Quante frustate mi merito? M sto già preparando ad andare dietro la lavagna, come gli asini...

P.S. Grazie mille, ovviamente, per aver proposto quest'esercizio.

[gugo82]

Come direbbe Iva Zanicchi -Ok, lo spoiler è giusto!-
Bravo Paolo.

La storia dell'esercizietto è questa.
L'altro giorno conversavo con un amico e, tra una cosa ed un'altra, è uscito fuori che l'enunciato che ho riportato è dato come Teorema di Fermat su un libro di testo di Analisi I (sic!), di cui ora non mi sovviene il nome...
Ovviamente ho pensato di riproporre la questione qui, ove cerchiamo anche di coltivare lo spirito critico degli studenti nei confronti dei manuali universitari.

[Paolo902]

Noooooo, non ci credo. L'ho presa . Evvai!

Ti ringrazio, Gugo. Grazie anche per il tuo nobile impegno a coltivare lo spirito critico di noi studenti.
Comunque, ora che mi hai raccontato la storia dell'esercizio, mi hai fatto venire il dubbio e sono andato a controllare il libro di analisi che uso io: è corretto, c'è l'ipotesi che il punto sia interno.

Grazie mille. A presto con nuovi esercizi per gli studenti di Analisi I


'notte

Paolo

[G.D.5]

"Gugo82":
L'altro giorno conversavo con un amico e, tra una cosa ed un'altra, è uscito fuori che l'enunciato che ho riportato è dato come Teorema di Fermat su un libro di testo di Analisi I (sic!), di cui ora non mi sovviene il nome...

Che libro è quello dove sta scritta sta zozzeria? Non è che uno dei "grandi classici" per il nuovo ordinamento?

[gugo82]

Se non ricordo male è qualche libro usato dagli economisti o altri "scienziati" del genere... Probabilmente ho esagerato a parlare di libro di Analisi; diciamo che forse è qualcosa più del tipo Matematica Generale o cose del genere.