Quesito integrale improprio..dubbio..

21zuclo
Ciao a tutti, sto ripassando gli integrali impropri, siccome mi piacevano vorrei tenermi sempre in allenamento. Ho trovato da qualche parte questo quiz, però ho un dubbio a dare la risposta. Aiutatemi a togliermi questo dubbio per favore.

Sia f una funzione continua sull'intervallo $I=[2,+\infty)$. Allora

1. Se $\lim_(x\to +\infty)f=0$, allora f è integrabile impropriamente su $I$
2. Se f non è integrabile impropriamente su $I$, neppure $|f|$ lo è
3. Se f è integrabile impropriamente su $I$, allora f ha ordine di infinitesimo $k>1$ per $x\to +\infty$
4. Se f è integrabile impropriamente su $I$, allora $|f|$ lo è



io dico subito che la risposta 1 e 4 sono false!

perchè per la (1) basta prendere $\int_(2)^(+\infty)1/x dx$ e questa diverge!

stessa cosa se nella (4) prendo
$\int_(2)^(+\infty)(\sin x)/(x) dx$ converge, mentre $\int_(2)^(+\infty)(|\sin x|)/(x)dx=+\infty$

A questo punto mi viene da dire la risposta (2), però potrebbe anche essere vera la (3)

perchè la (2) è vera!
Ma è vera anche la (3) per questo teorema (dell'infinitesimo)
se $f(x)$ è per $x\to +\infty$ di ordine $\alpha$, con $\alpha>1$. Allora integrale generalizzato convergente

Dunque sono indeciso tra la (2) e la (3). Voi cosa direste?

Risposte
Plepp
La (3) è falsa:
\[\int_1^{+\infty}e^{-x}<+\infty\]
ma $e^{-x}$ è infinitesima di ordine superiore a $1/x^k$ per ogni $k>1$.

Ciao ;)

21zuclo
"Plepp":
La (3) è falsa:
\[\int_1^{+\infty}e^{-x}<+\infty\]
ma $e^{-x}$ è infinitesima di ordine superiore a $1/x^k$ per ogni $k>1$.

Ciao ;)



se io faccio $\lim_(x\to +\infty) (e^(-x))/((1)/(x^k))=0$ $\forall k>1$

quindi sì.. $e^(-x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $(1)/(x^k)$ $\forall k>1$

eh però $\int_(1)^(+\infty)(1/e)^x dx$ converge!..

Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.. XD..

Lory314
La (2) è vera ed è la contronominale di questo teorema:

Teorema: Se $\int_I |f| < +oo$ allora $\int_I f < +oo$.

21zuclo
"Lory314":
La (2) è vera ed è la contronominale di questo teorema:

Teorema: Se $\int_I |f| < +oo$ allora $\int_I f < +oo$.


:wink:

per cui la risposta esatta è la (2).

Perchè con quanto ha detto Plepp, trovo un controesempio prendendo $f(x)=e^(-x)$ e $g(x)=(1)/(x^k)$ e il loro rapporto per $x\to +\infty$ viene 0 $\forall k>1$, ma deve essere diverso da 0

Grazie a tutti e 2 :wink:

madò sto caldo mi sta facendo diventare scemo! XD

gabriella127
Che io ricordi, la 3 è falsa. Esistono funzioni integrabili impropriamente che non sono infinitesime per x che tende a infinito.
Possono non avere limite. Però se il limite esiste deve essere 0. Un esempio è l'integrale di Fresnel, integrale di sen x^2, è integrabile in senso improprio, ma la funzione non ha limite.
Scusate sono appena registrata, ma dove cavolo sta scritto come si scrivono le formule?

21zuclo
"gabriella127":
Che io ricordi, la 3 è falsa. Esistono funzioni integrabili impropriamente che non sono infinitesime per x che tende a infinito.
Possono non avere limite. Però se il limite esiste deve essere 0. Un esempio è l'integrale di Fresnel, integrale di sen x^2, è integrabile in senso improprio, ma la funzione non ha limite.
Scusate sono appena registrata, ma dove cavolo sta scritto come si scrivono le formule?


per le formule clicca qui

gabriella127
grazie

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