Quesito insieme chiuso e massimi e minimi globali
Salve a tutti,
scusate il disturbo e l'urgenza espressa ma avrei bisogno urgente di aiuto su questo esercizio per un esame che avrò tra una settimana:
Considerate la funzione f(x,y,z)=(x+y+z)^2 e il sottoinsieme A={x∈ R3: x^2+2y^2+3z^2=1 }.
1- Provate che A è chiuso e limitato
2- Provate che f ha infiniti punti di minimo globale su A
3- Determinare gli eventuali punti di massimo globale su A
Ringrazio vivamente tutti coloro che mi aiuteranno
Non sono sicuro di come dimostrare il punto 1 e per quanto riguarda il punto due e il punto 3 potrei utilizzare il metodo di Lagrange per i massimi e i minimi vincolati ad un insieme? Grazie dell'aiuto
scusate il disturbo e l'urgenza espressa ma avrei bisogno urgente di aiuto su questo esercizio per un esame che avrò tra una settimana:
Considerate la funzione f(x,y,z)=(x+y+z)^2 e il sottoinsieme A={x∈ R3: x^2+2y^2+3z^2=1 }.
1- Provate che A è chiuso e limitato
2- Provate che f ha infiniti punti di minimo globale su A
3- Determinare gli eventuali punti di massimo globale su A
Ringrazio vivamente tutti coloro che mi aiuteranno
Non sono sicuro di come dimostrare il punto 1 e per quanto riguarda il punto due e il punto 3 potrei utilizzare il metodo di Lagrange per i massimi e i minimi vincolati ad un insieme? Grazie dell'aiuto
Risposte
[xdom="gugo82"]Elimina il tutto-maiuscolo ed "urgente" dal titolo (cfr. regolamento, sez. 3).
Il forum non è un risolutore automatico di esercizi (cfr. regolamento, sez. 1 e questo avviso): pertanto sei pregato di modificare il tuo post inserendo un tuo tentativo di soluzione.[/xdom]
Il forum non è un risolutore automatico di esercizi (cfr. regolamento, sez. 1 e questo avviso): pertanto sei pregato di modificare il tuo post inserendo un tuo tentativo di soluzione.[/xdom]
"francekk":
Considerate la funzione $f(x,y,z)=(x+y+z)^2$ e il sottoinsieme $A={x∈ R3: x^2+2y^2+3z^2=1 }$.
Ciao France
se inserisci il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine delle formule le stesse risulteranno più leggibili, clicca sul tasto cita e guarda come ho modificato le tue.
Venendo al merito, il tuo insieme $A$ è solo la superficie dell'ellissoide (almeno a me sembra un ellissoide, tu che ne pensi?) ($=$) o anche l'interno ($<=$)?
Sì, è un elissoide e sì, solo =0. Il problema è come dimostro che è un insieme chiuso e limitato?
Per quanto riguarda il punto 2 ho svolto col metodo di Lagrange e ottengo due sistemi, uno in cui lambda è uguale a zero, e in questo caso ottengo un luogo geometrico che mi restituisce valori i quali sostituiti alla funzione di partenza mi danno sempre valori nulli (quindi in questo caso minimi); e l'altro in cui lambda è diverso da zero in cui il sistema mi restituisce due punti che sostituiti nella funzione di partenza mi generano un unico punto che però non riesco a capire se sia di massimo assoluto.
Grazie mille
Per quanto riguarda il punto 2 ho svolto col metodo di Lagrange e ottengo due sistemi, uno in cui lambda è uguale a zero, e in questo caso ottengo un luogo geometrico che mi restituisce valori i quali sostituiti alla funzione di partenza mi danno sempre valori nulli (quindi in questo caso minimi); e l'altro in cui lambda è diverso da zero in cui il sistema mi restituisce due punti che sostituiti nella funzione di partenza mi generano un unico punto che però non riesco a capire se sia di massimo assoluto.
Grazie mille
"francekk":
Sì, è un elissoide e sì, solo =0. Il problema è come dimostro che è un insieme chiuso e limitato?
qui è meglio che ti aiuti gugo
io riesco a dirti solo questo, ma non so quanto sia corretto
- è chiuso se il suo complementare è aperto: il complementare del tuo insieme è l'interno dell'elissoide e il suo esterno, qualsiasi puno del complementere tu prenda ne trovi altri intorno sempre appartenenti al tuo insieme, dunque il complementare è aperto
- è limitato perchè posso metterlo tutto dentro una palla
i punti di minimo dovrebbero essere l'intersezione tra l'elissoide e il paino di equazione $z=-x-y$, aren't they?
dovrebbe essere un ellissi...
"francekk":
e l'altro in cui lambda è diverso da zero in cui il sistema mi restituisce due punti che sostituiti nella funzione di partenza mi generano un unico punto che però non riesco a capire se sia di massimo assoluto.
Grazie mille
uno stesso valore della funzione che è uguale per i tuoi due punti $P(x_P;y_P;z_P)$ e $Q(x_Q;y_Q;z_Q)$ e dovrebbe essere il massimo che puoi trovare sulla superficie del tuo ellissoide. Se non ho completamente travisato il problema per tottenere il massimo della funzione $f(x;y;z)=(x+y+z)^2$ devi fare in modo che la base $(x+y+z)$ sia più grande possibile in valore assoluto, mi va bene tanto $+m$ come $-m$
di conseguenza nel fascio di piani $z=-x-y+q$ vado a cercare quelli che passano/toccano la superficie dell'ellissoide e che hanno il termine $q$ più grande possibile in valore assoluto, penso che ne troverò due: uno $+m$ e l'altro $-m$
"francekk":
Sì, è un elissoide e sì, solo =0. Il problema è come dimostro che è un insieme chiuso e limitato?
Beh, innanzitutto mostri che è limitato provando che puoi racchiuderlo in una scatoletta con semidimensioni pari ai semiassi dell'ellissoide.
Poi, per la chiusura, noti che il tuo insieme è il luogo degli zeri di una funzione continua e perciò è chiuso (la dimostrazione è banale).
"francekk":
Per quanto riguarda il punto 2 ho svolto col metodo di Lagrange e ottengo due sistemi, uno in cui lambda è uguale a zero, e in questo caso ottengo un luogo geometrico che mi restituisce valori i quali sostituiti alla funzione di partenza mi danno sempre valori nulli (quindi in questo caso minimi); e l'altro in cui lambda è diverso da zero in cui il sistema mi restituisce due punti che sostituiti nella funzione di partenza mi generano un unico punto che però non riesco a capire se sia di massimo assoluto.
Qui non ci metto bocca... Dovresti postare i tuoi conti.
"gugo82":
[quote="francekk"]Sì, è un elissoide e sì, solo =0. Il problema è come dimostro che è un insieme chiuso e limitato?
Beh, innanzitutto mostri che è limitato provando che puoi racchiuderlo in una scatoletta con semidimensioni pari ai semiassi dell'ellissoide.
Poi, per la chiusura, noti che il tuo insieme è il luogo degli zeri di una funzione continua e perciò è chiuso (la dimostrazione è banale).
"francekk":
Per quanto riguarda il punto 2 ho svolto col metodo di Lagrange e ottengo due sistemi, uno in cui lambda è uguale a zero, e in questo caso ottengo un luogo geometrico che mi restituisce valori i quali sostituiti alla funzione di partenza mi danno sempre valori nulli (quindi in questo caso minimi); e l'altro in cui lambda è diverso da zero in cui il sistema mi restituisce due punti che sostituiti nella funzione di partenza mi generano un unico punto che però non riesco a capire se sia di massimo assoluto.
Qui non ci metto bocca... Dovresti postare i tuoi conti.
[/quote]Ciao,
può andar bene se dico che l'insieme A è definito come il luogo degli zeri dell'equazione associata all'insieme stesso $x^2+2y^2+3z^2-1=0$ e questa equazione essendo somma di funzioni continue è continua ?
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