Quesito imbarazzante

[dani861]

ho un sistema non lineare di questo tipo

${(2x+3y+18+(3x-2y)*(x/y)=0),(x^2-y^2-4=0):}$

e risultano 4 punti come soluzione... come devo procedere con sistemi di questo tipo per trovare tutte le possibili soluzioni?

grazie in anticipo!

[cozzataddeo]

Nella prima equazione manca il segno uguale.

[dani861]

"Cozza Taddeo":Nella prima equazione manca il segno uguale.

che sbadato... ho corretto...

[codino75]

mah io direi sempre col metodo di sostituzione...
non credo che cosi' ti perdi qualche soluzione...........
cioe' ovviamente ogni volta che da una equazione tiri fuori 2 (o piu') soluzioni per una variabile, e' come se ti vieni a trovare 2 (o piu') sistemi...
praticamente ogni volta che trovi , per esempio x= 2y e x=5y dalla prima, allora per ciascuna di queste procedi sostituendo nella seconda.
spero che sia corretto,
ciao

[cozzataddeo]

"dani86":ho un sistema non lineare di questo tipo

${(2x+3y+18+(3x-2y)*(x/y)=0),(x^2-y^2-4=0):}$

e risultano 4 punti come soluzione... come devo procedere con sistemi di questo tipo per trovare tutte le possibili soluzioni?

Per quanto ne so, non esistono metodi generali per risolvere sistemi algebrici non lineari. Ci sono alcune regole utii solo se le equazioni del sistema hanno una struttura che evidenzia alcune simmetrie.
Negli altri casi (come l'esercizio in questione), bisogna avere un po' di occhio e cercare di eseguire i passaggi piú utili che portano a non incasinarsi troppo con i conti. Mi rendo conto che questo consiglio non dice granché. Proviamo quindi a risolvere il sistema.
Se dalla seconda equazione ti volessi ricavare $y$ avresti

$y=sqrt(x^2-4)$ o $y=-sqrt(x^2-4)$

e quindi dovresti sostituire, in due tempi, queste espressioni nella prima equazione e procedere poi a risolvere un'equazione irrazionale, cosa non molto vantaggiosa.
Se, viceversa, consideri la prima equazione ed esegui il denominatore comune, semplificando opportunamente i termini, ottieni

$y^2+6y+x^2=0$

e dalla seconda equazione ti ricavi

$x^2=y^2+4$

Sostituendo nella prima risulta

$y^2+3y+2 = 0$ da cui $y=-1$ o $y=-2$

Ora, per ciascuno di questi valori devi ricavarti i corrispondenti valori di $x$, sostituendoli in una qualsiasi delle equazioni. Utilizzando, ad esempio, la seconda ottieni:

$x = +-sqrt(y^2+4)$

da cui

per $y=-1$ si ha $x=+-sqrt(5)$
per $y=-2$ si ha $x=+-2sqrt(2)$

In conclusione le soluzioni del sistema sono

$(-sqrt(5),-1)$, $(sqrt(5),-1)$, $(-2sqrt(2),-2)$, $(2sqrt(2),-2)$

e sono state trovate senza dover mettere sotto radice delle incognite.
È vero che non sempre è possibile trovare un percorso risolutivo cosí semplice, però nella maggior parte dei casi gli esercizi sono costruiti ad hoc in modo che esista una strada percorribile...almeno credo...