QUESITO ESAME

[xml86]

Sviluppare in serie di Mac Laurin la funzione $f(x)=x^3 log(1+x^3)$ e studiare la convergenza semplice e uniforme della serie:

$\sum_{n=1}^\infty 2^n ((sqrt(n) +n(-1)^n)/(n^2)) x^n$

Lo sviluppo in serie di $f(x)$ dovrebbe essere $\sum_{n=1}^\infty ((-1)^(n-1))/n x^(3n+3)$

E' corretto? E lo studio della convergenza della serie come si fa?

[pat871]

Lo sviluppo in serie credo sia corretto.

Per la convergenza della serie, applica il criterio della radice:

$R = (limsu p_(n -> infty) |a_n|^(1/n))^(-1) = (limsu p_(n -> infty) |2^n ((sqrt(n) + n(-1)^n)/(n^2))|^(1/n))^(-1) = 1/2(limsu p_(n -> infty) |((sqrt(n) + n(-1)^n)/(n^2))|^(1/n))^(-1) = 1/2(limsu p_(n -> infty) ((|sqrt(n) + n(-1)^n|)/(n^2))^(1/n))^(-1)$

Visto che:
1) $| sqrt(n) + n(-1)^n| = sqrt(n) + n$, se n è pari, mentre
$|sqrt(n) + n(-1)^n| = n- sqrt(n)$, se n è dispari
2) $lim_( n-> infty) (n^k)^(1/n) = 1$, per un $k in RR+$

Concludi che:
$limsu p_(n -> infty) ((|sqrt(n) + n(-1)^n|)/(n^2))^(1/n) = 1$
$
e quindi:
$R = 1/2$

per cui la serie converge per tutte le $|x| < 1/2$ uniformemente. Per i punti sul bordo abbiamo che:
-Per $x = 1/2$:
$sum_(n=1)^(infty) ((sqrt(n) + n(-1)^n)/(n^2)) = sum_(n=1)^(infty) (sqrt(n))/(n^2) + sum_(n=1)^(infty) ((-1)^n)/(n)$
la prima è la funzione zeta di Riemann per $\alpha = 1.5$, e quindi converge, la seconda converge per il criterio di Leibniz ( a $ln(2)$).
Per cui la serie converge pure per $x = 1/2$.
- Per $x = -1/2$:
$sum_(n=1)^(infty) (-1)^n((sqrt(n) + n(-1)^n)/(n^2)) = sum_(n=1)^(infty) ((-1)^n sqrt(n))/(n^2) + sum_(n=1)^(infty) 1/n$
La prima converge per il criterio di Leibniz. La seconda diverge (serie armonica!).
La serie perciò diverge per $x = -1/2$.
L'insieme di convergenza puntuale è perciò:
$-1/2 < x \le 1/2$