Quesito

[Sk_Anonymous]

Essendo $m$ un parametro positivo, dire per quali valori di $m$ il polinomio $x^2+mx-2$ è divisibile per il polinomio $mx-1$; supposto $m$ positivo e diverso da uno, si consideri la funzione $f_m(x)=(x^2+mx-2)/(mx-1)$ il cui grafico è $C_m$; per quali valori del parametro la funzione ammette un massimo relativo? Mostrare ,infine, che le curve $C_m$ passano per tre punti fissi.

[Dorian1]

(1) Si può applicare l'algoritmo di divisione tra polinomi... Si ottiene la seguente fattorizzazione:

$x^2+mx-2=(mx-1)(1/mx+((m^2+1)/m^2))+R$

ove $R=(m^2+1)/m^2-2$

Si ponga $R=0$ e si risolva in $m$... Si controlli infine se le soluzioni trovate sono in "conflitto"
con altri dati del problema...

(2) Calcolo la derivata prima:

$f'_m(x)=(mx^2+2x+m)/(mx-1)^2$

nelle ipotesi assunte, numeratore e denominatore sono sempre positivi (a prescindere dal valore assunto da $m$), dunque il rapporto è sempre positivo... Quindi, dal momento che la derivata è sempre maggiore di zero, la funzione è monotona crescente e non ammette massimi di alcun tipo.

[Dorian1]

Dimenticavo...
(3) Si può fare velocemente così: prendere $n,q in NN$ e mettere a sistema $f_q(x)$ e $f_n(x)$. Verificare se i punti così trovati appartengono ad ogni curva (sostituendo i valori trovati in $f_m(x)$. Se il risultato è un'identità, il punto sta in ogni curva...)

[adaBTTLS1]

per quanto riguarda la prima parte io ho fatto un calcolo leggermente diverso ma il risultato coincide con quello di Dorian (R=0 per m=1).

a me viene leggermente diversa la derivata (-2x anziché +2x), anche se questa differenza non dovrebbe influire sul resto del calcolo perché non cambia il discriminante: però, appunto, il discriminante non è sempre negativo...
dunque per 0
i tre punti fissi, con il metodo diretto (mi pare sia lo stesso indicato da Dorian) dovrebbero essere i punti di ascisse -1, 0, 1.

ricontrollate. ciao.

[Dorian1]

"adaBTTLS":per quanto riguarda la prima parte io ho fatto un calcolo leggermente diverso ma il risultato coincide con quello di Dorian (R=0 per m=1).

a me viene leggermente diversa la derivata (-2x anziché +2x), anche se questa differenza non dovrebbe influire sul resto del calcolo perché non cambia il discriminante: però, appunto, il discriminante non è sempre negativo...
dunque per 0
i tre punti fissi, con il metodo diretto (mi pare sia lo stesso indicato da Dorian) dovrebbero essere i punti di ascisse -1, 0, 1.

ricontrollate. ciao.

In effetti ho sbagliato a calcolare la derivata... Grazie adaBTTLS!

[adaBTTLS1]

di nulla, però $Delta$ è uguale.

[franced]

"Ene@":Essendo $m$ un parametro positivo, dire per quali valori di $m$ il polinomio $x^2+mx-2$ è divisibile per il polinomio $mx-1$;

Prova a vedere quando $x=1/m$ è soluzione dell'equazione di secondo grado

$x^2+mx-2=0$

Questa è secondo me la strada più breve.

[franced]

Infatti, se $(ax+b)$ divide un polinomio $p(x)$, significa che:

$p(x) = (ax+b) \cdot q(x)$

cioè $x=-b/a$ è una radice di $p(x)$.

[franced]

"franced":Prova a vedere quando $x=1/m$ è soluzione dell'equazione di secondo grado

$x^2+mx-2=0$

Questa è secondo me la strada più breve.

Se segui il mio metodo trovi:

$(1/m)^2 + m \cdot (1/m) - 2 = 0$

cioè

$1/m^2 + 1 - 2 = 0$

ovvero

$1/m^2 = 1$ da cui $m^2 = 1$.

E' un metodo veloce!

[franced]

"Ene@":Essendo $m$ un parametro positivo, dire per quali valori di $m$ il polinomio $x^2+mx-2$ è divisibile per il polinomio $mx-1$;

Altro tipo di soluzione:

visto che il polinomio $x^2+mx-2$ deve avere come radice $x=1/m$, basta osservare che
l'altra radice deve essere tale che il prodotto delle due radici sia uguale a $-2$:

$(1/m) \cdot x_2 = -2$ ovvero $x_2 = -2m$

In definitiva il polinomio $x^2+mx-2$ si fattorizza nel seguente modo:

$x^2 + mx - 2 = (x - 1/m) \cdot (x - (-2m)) = (x - 1/m) \cdot (x + 2m)$

svolgendo i calcoli si trova:

$x^2 + mx - 2 = x^2 + (2m - 1/m) \cdot x - 2$

uguagliando i coefficienti del termine lineare troviamo:

$m = 2m - 1/m$ cioè $m^2 = 1$

(in tutta la trattazione ho supposto $m \ne 0$).

[adaBTTLS1]

"franced":[quote="Ene@"]Essendo $m$ un parametro positivo, dire per quali valori di $m$ il polinomio $x^2+mx-2$ è divisibile per il polinomio $mx-1$;

Prova a vedere quando $x=1/m$ è soluzione dell'equazione di secondo grado

$x^2+mx-2=0$

Questa è secondo me la strada più breve.[/quote]
@ franced

in realtà mi riferivo a questo quando ho detto che avevo fatto un procedimento leggermente diverso.
non l'ho menzionato perché bastava completare l'uguaglianza del resto trovato da Dorian, e non cambiava nulla di sostanziale.
ciao e scusa l'intromissione. che ne pensi del resto del procedimento?

[franced]

"adaBTTLS":@ franced

in realtà mi riferivo a questo quando ho detto che avevo fatto un procedimento leggermente diverso.
non l'ho menzionato perché bastava completare l'uguaglianza del resto trovato da Dorian, e non cambiava nulla di sostanziale.
ciao e scusa l'intromissione. che ne pensi del resto del procedimento?

Sto pensando a qualche soluzione ad hoc visto che si tratta di una famiglia di coniche

$y \cdot (mx - 1) = x^2 + mx - 2$

[adaBTTLS1]

mi riferivo ai risultati che ho scritto in maniera sintetica: il massimo in funzione di m, se 0 pensi che ci possano essere delle sorprese con metodi più standard e meno diretti?

[franced]

"adaBTTLS":mi riferivo ai risultati che ho scritto in maniera sintetica: il massimo in funzione di m, se 0 pensi che ci possano essere delle sorprese con metodi più standard e meno diretti?

Sono iperboli che hanno come asintoto la retta verticale $x=1/m$ e una retta obliqua
con coeff. angolare $1/m > 0$.
Si tratta di vedere dove stanno i due rami dell'iperbole al variare di $m$.

Quindi niente derivate, il problema si può risolvere senza..

[franced]

Visto che tutte le iperboli passano per il punto $(0;2)$, basta vedere quando il termine
costante (l'intercetta) dell'asintoto è maggiore di 2.
Infatti, se la curva sta sotto l'asintoto per $x \to -oo$ allora avrà un max relativo
(basta fare un disegno, non è difficile).

L'asintoto l'ha calcolato Dorian, se non sbaglio, e ha trovato:

$y = 1/m \cdot x + (1+m^2)/(m^2)$

quindi la disequazione risulta essere:

$(1+m^2)/(m^2) > 2$

ovvero $m^2 < 1$;

visto che per ipotesi $m > 0$, le soluzioni sono $0 < m < 1$.

Vi piace il mio metodo grafico senza derivate?

[franced]

Dato che ci sono volevo dire che di fronte a funzioni del tipo

$f(x) = (x^2 +x +1)/(x - 2)$

conviene fare la divisione polinomiale: il quoziente è l'asintoto obliquo della curva.
Quando Dorian ha fatto la divisione ha calcolato in pratica l'asintoto di ciascuna curva
della famiglia.

Ad esempio, la funzione da me scritta diventa:

$(x^2 +x +1)/(x - 2) = x + 3 + (7)/(x-2)$

Io preferisco lavorare sulla parte destra.