Quesito 2 : Successioni, Procedimento corretto?

[Noisemaker]

Sia $(x_n)$ una successione crescente e verificante,

$|x_{2^{n+1}} - x_{2^n}| \le \frac{1}{2^n}.$

Dimostrare che $(x_n)$ è convergente.

Soluzione

La successione $x_n$, essendo monotona crescente, ammette certamente limite; noi dobbiamo dimostrare che questo limite è finito.
La sottosuccessione $ x_{2^n}$ convergente in quanto è di Cauchy, infatti:
una successione è di Cauchy se

$\forall \varepsilon>0,\exists \nu>0 , |x_m-x_n|<\varepsilon \quad m,n >\nu$

o, equivalentemete

$\forall \varepsilon>0,\exists \nu>0 , n>\nu \quad \forall k\ge1|x_{n+k}-x_n|<\varepsilon$

allora nel nostro caso:

$|x_{2^{n+k}} - x_{2^n} | < \varepsilon;$

sappiamo inoltre che

$|x_{2^{n+k}} - x_{2^n} | \le \frac{1}{2^n} $

ma allora, quando $n$ diventa sufficentemente grande si ha che:

$|x_{2^{n+k}} - x_{2^n} | \le \sum_{i=0}^{k-1} \frac 1{2^{n+i}} = \frac 1{2^n} \sum_{i=0}^{k-1} \frac 1{2^i} \le \frac 1{2^{n-1}} < \varepsilon:$

dunque $ x_{2^n}$ è di Cauchy, e dunque ammette limite finito, cioè converge.

Ora, dal momento che per $m\in \mathbb{N}$, esiste un indice $n$ tale che

$2^n\le m<2^{n+1},$

si ha che

$x_{2^n}\le x_m \le x_{2^{n+1}}:$

allora la successione $x_m$ ha lo stesso limite della successione $x_{2^n}$ per il teorema del confronto, e dunque, essendo convergente
$ x_{2^n}$ lo è anche $x_m$

[j18eos]

"Noisemaker":...quando $n$ diventa sufficentemente grande...

Non credo che serva questa ipotesi!